$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \ -1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

解 由 (5.35)，特征方程为 $\mathbf{A}$ 是三次方程

$$c(\lambda) = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 & 2 \ 1 & \lambda - 2 & -1 \ 0 & -1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = 0$$

沿第一列展开行列式得

$$\begin{aligned} c(\lambda) &= (\lambda - 1) \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -1 & 2 \ -1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} \ &= (\lambda - 1)[(\lambda - 2)(\lambda + 1) - 1] - [2 - (\lambda + 1)] \end{aligned}$$

因此

$$c(\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 = 0$$

即为所求的特征方程。

对于高阶矩阵，通过直接展开 $|\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A}|$ 来求特征多项式并不令人满意，因为行列式展开中涉及的项数很多，但有其他可用的方法。

5.7.2 特征值与特征向量

特征方程 (5.35) 的根称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值（有时也使用潜根、本征根和特征根等术语）。根据代数基本定理，次数为 $n$ 的多项式方程恰有 $n$ 个根，因此矩阵 $\mathbf{A}$ 恰好有 $n$ 个特征值 $\lambda_i$ , $i = 1, 2, \dots, n$ 。这些特征值可能是实数或复数，且不一定互不相同。对应于每个特征值 $\lambda_i$ ，存在一个非零解 $\mathbf{X} = \mathbf{e}_i$ 满足 (5.34)； $\mathbf{e}_i$ 称为 $\mathbf{A}$ 对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。（同样，术语 latent vector、proper vector 和 characteristic vector 有时也会见到，但通常已过时。）我们注意到，如果 $\mathbf{X} = \mathbf{e}_i$ 满足 (5.34)，那么它的任意标量倍数 $\beta_i \mathbf{e}_i$ 也 $\mathbf{e}_i$ 也满足 (5.34)，因此特征向量 $\mathbf{e}_i$ 只能确定到一个标量倍数的范围内。

例 5.42

验证 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$ 是矩阵的特征向量

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix}$$