解 该矩阵与例 5.40 中给出的矩阵相同，因此我们预期这些特征向量对应于特征值 $-1$ 和 $-3$ 。为验证这一事实，我们必须检验方程 (5.33) 是否成立。现在对于第一个列向量

$$\begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \ -1 \end{bmatrix} = -1 \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

所以 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 是对应于该特征向量的特征向量 $-1$ 。

对于第二个列向量

$$\begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \ 3 \end{bmatrix} = -3 \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$$

所以 $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$ 是对应于该特征向量的特征向量 $-3$ 。

例 5.43 求矩阵的特征值和特征向量 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 。

解 为求特征值，使用方程 (5.35) $$0 = |\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 \ -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 + 1$$

该特征方程有两个根 $\lambda = +j$ 和 $-j$ ，它们就是特征值，在此情形下为复数。注意，一般而言特征值是复数，尽管本节其余大多数例子中的特征值都被构造为实数。

为求特征向量，使用方程 (5.34)。

对于特征值 $\lambda = j$ 则 (5.34) 给出

$$(\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A}) \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} j & 1 \ -1 & j \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = 0$$

或写成展开形式

$$\begin{aligned} ja + b &= 0 && \text{with solution } a = j \text{ and } b = 1 \ -a + jb &= 0 \end{aligned}$$

因此对应于 $\lambda = j$ 的特征向量为 $\begin{bmatrix} j \ 1 \end{bmatrix}$ .