$$(\lambda I - A) \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j & 1 \ -1 & -j \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = 0$$

或写成展开形式

$$\begin{aligned} -jc + d &= 0 && \text{with solution } c = 1 \text{ and } d = j \ -c - jd &= 0 && \end{aligned}$$

因此对应的特征向量为 $\lambda = -j$ 为 $\begin{bmatrix} 1 \ j \end{bmatrix}$ .

例 5.44

求例 5.41 中矩阵的特征值和特征向量 $A$ 例 5.41 的。

解

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \ -1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

特征值 $\lambda_i$ 的 $A$ 满足特征方程 $c(\lambda) = 0$ ，这已在例 5.41 中求得为三次方程

$$\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 = 0$$

求解该方程可得特征值 $\lambda_1$ , $\lambda_2$ 和 $\lambda_3$ 。

或者，也可以利用行列式形式 $|A - \lambda I|$ ，通过适当的行和/或列运算来分解行列式。

在本例中

$$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & -2 \ -1 & 2 - \lambda & 1 \ 0 & 1 & -1 - \lambda \end{vmatrix}$$

并将第 1 列加到第 3 列，得到

$$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & -1 - \lambda \ -1 & 2 - \lambda & 0 \ 0 & 1 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = -(1 + \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \ -1 & 2 - \lambda & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

从第 1 行减去第 3 行，得到

$$-(1 + \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0 \ -1 & 2 - \lambda & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 + \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda)$$