设定 $|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = 0$ 给出特征值为 $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 1$ 和 $\lambda_3 = -1$ 。它们书写的顺序是任意的，但为保持一致性，我们采用按 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 递减排列的约定。

求得特征值 $\lambda_i$ ( $i = 1, 2, 3$ ）后，相应的特征向量 $\mathbf{e}_i$ 通过求解相应的齐次方程得到

$$(\mathbf{A} - \lambda_i \mathbf{I})\mathbf{e}_i = 0 \quad (5.36)$$

当 $i = 1$ , $\lambda_1 = 2$ 且 (5.36) 为

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \ -1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} \ e_{12} \ e_{13} \end{bmatrix} \equiv 0$$

即

$$-e_{11} + e_{12} - 2e_{13} = 0$$

$$-e_{11} + 0e_{12} + e_{13} = 0$$

$$0e_{11} + e_{12} - 3e_{13} = 0$$

从而得到解

$$\frac{e_{11}}{-1} = \frac{-e_{12}}{3} = \frac{e_{13}}{-1} = \beta_1$$

其中 $\beta_1$ 是任意非零标量。因此对应于特征值 $\mathbf{e}_1$ 的特征向量 $\lambda_1 = 2$ 为

$$\mathbf{e}_1 = \beta_1 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}^T$$

作为验证，我们可以计算

$$\mathbf{A}\mathbf{e}_1 = \beta_1 \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \ -1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = \beta_1 \begin{bmatrix} 2 \ 6 \ 2 \end{bmatrix} = 2\beta_1 \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = \lambda_1 \mathbf{e}_1$$

从而得出结论：我们的计算是正确的。

当 $i = 2$ , $\lambda_2 = 1$ 时，我们需要求解

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \ -1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{21} \ e_{22} \ e_{23} \end{bmatrix} = 0$$