解 (a) 特征值由 $\mathbf{A}$ 求得，得到重复两次的值 1。

特征向量我们由下式计算

$$0 = |\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A}| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 \ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2$$

显然任何满足条件的

$$0 = (\mathbf{I} - \mathbf{A}) \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$$

和 $a$ 的值都成立。因此取 $b$ 可以看出存在两个独立的特征向量

$$\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

和 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ 。这两个向量的任何线性

组合也是一个特征向量。从几何上看，这对应于单位矩阵将每个向量映射到其自身这一事实。

(b) 特征值由 $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ 求得，即从下式得到： $\mathbf{B}$

$$0 = |\lambda \mathbf{I} - \mathbf{B}| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 \ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2$$

给出重复两次的值 1。

我们从

$$0 = (\mathbf{I} - \mathbf{B}) \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -d \ 0 \end{bmatrix}$$

因此 $d = 0$ 并且只有一个特征向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ 以及，当然，该向量的任意倍数。

我们从例 5.47 中注意到，当存在重特征值时，特征向量的求取会导致复杂得多的情况。与不同特征值的情形（已知相应的特征向量线性无关）相反，对于重特征值，甚至不清楚有多少个线性无关的特征向量与一个重特征值相关联 $\lambda$ 。矩阵 $(\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A})$ 的秩（在 5.6 节中介绍）的概念是澄清问题的关键。

当有多个线性无关的特征向量与一个重特征值相关联时，会出现第二个问题，如例 5.47(a) 所示。例如，假设特征值 $\lambda$ 有两个这样的特征向量 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 于是

$$\mathbf{A}\mathbf{X} = \lambda\mathbf{X} \quad \text{and} \quad \mathbf{A}\mathbf{Y} = \lambda\mathbf{Y}$$