然后与倍数相加 $\alpha, \beta$

$$\mathbf{A}(\alpha \mathbf{X} + \beta \mathbf{Y}) = \lambda(\alpha \mathbf{X} + \beta \mathbf{Y})$$

我们看到 $(\alpha \mathbf{X} + \beta \mathbf{Y})$ 对于任意也是特征向量 $\alpha, \beta$ 。这可能会引起混淆，因为某种方法或计算机软件包可能会给出两个与预期不同但同样有效且属于集合的特征向量 $(\alpha \mathbf{X} + \beta \mathbf{Y})$

对于某个 $\alpha, \beta$ 。在例 5.47(a) 中，计算得到的特征向量是 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ 但同样也可以选取特征向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$ 。这些向量属于

同一个集合，其中 $\alpha = \beta = 1$ 在第一种情况下， $\alpha = -\beta = 1$ 在第二种情况下。在处理涉及重特征值的习题时，应当仔细注意这种情况。

下面两个 $3 \times 3$ 例子说明了类似的要点。

例 5.48

求矩阵的特征值及对应的特征向量

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 2 \ -1 & 5 & -2 \ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

解 我们由下式求特征值

$$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & -3 & 2 \ -1 & 5 - \lambda & -2 \ -1 & 3 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$$

得 $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = \lambda_3 = 2$ 。

特征向量由下式求得

$$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{e}_i = 0 \tag{5.37}$$

且当 $\lambda = \lambda_1 = 4$ 时，我们由 (5.37) 得到

$$\mathbf{e}_1 = [1 \quad -1 \quad -1]^T$$

当 $\lambda = \lambda_2 = \lambda_3 = 2$ , (5.37) 变为

$$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \ -1 & 3 & -2 \ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{21} \ e_{22} \ e_{23} \end{bmatrix} = 0$$

该矩阵有 $\text{rank} = 1$ ，因此 $[q - \text{rank}(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})] = 3 - 1 = 2$ 并且我们预期有两个自由参数，因此有两个线性无关的特征向量。它们可以由单个方程显式地求得