$$e_{21} - 3e_{22} + 2e_{23} = 0 \quad (5.38)$$

显然我们可以自由地任意选取其中两个分量 $e_{21}$ , $e_{22}$ 或 $e_{23}$ ，而剩下的一个由 (5.38) 确定。假设我们取 $e_{22} = \alpha$ 和 $e_{23} = \beta$ ；那么 (5.38) 意味着 $e_{21} = 3\alpha - 2\beta$ ，因此

$$\begin{aligned} e_2 &= [3\alpha - 2\beta \quad \alpha \quad \beta]^T \ &= \alpha \begin{bmatrix} 3 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \quad (5.39)$$

现在 $\lambda = 2$ 是一个重数为 2 的特征值，并且我们（如果可能的话）寻求由 (5.39) 定义的两个线性无关的特征向量。取 $\alpha = 1$ 和 $\beta = 0$ 得到

$$e_2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}^T$$

和设定 $\alpha = 0$ 和 $\beta = 1$ 给出第二个向量

$$e_3 = [-2 \quad 0 \quad 1]^T$$

这两个向量是独立的，并且具有 (5.39) 所定义的形式，但也可以有许多其他的选择。然而，任何其他形如 (5.39) 的选择都将是 $e_2$ 和 $e_3$ （如上所选）的线性组合。例如， $e = [1 \quad 1 \quad 1]^T$ 满足 (5.38)，但 $e = e_2 + e_3$ 。

在这个例子中，尽管存在一个代数重数为 2 的重特征值，但仍可以构造出两个对应于该特征值的独立特征向量。因此矩阵 $\mathbf{A}$ 有且仅有三个独立的特征向量。

例 5.48 的 MATLAB 命令

A=[3 –3 2; –1 5 –2; –1 3 0]; [M, S]=eig(A)

生成

–0.5774 –0.9568 0.1547 4.0000 0 0 M= 0.5774 –0.2867 0.5832 S=0 2.0000 0 0.5774 0.0484 0.7975 0 0 2.0000

显然， $\mathbf{M}$ （对应于特征值 $\lambda_1 = 4$ ）是 $\mathbf{e}_1$ 的标量倍数。 $\mathbf{M}$ 的第二列和第三列（对应于重特征值 $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$ ）不是 $\mathbf{e}_2$ 和 $\mathbf{e}_3$ 的标量倍数。然而，两者都满足 (5.37)，并且都可以作为对应于该重特征值的一对线性无关特征向量。证明两者都是 $\mathbf{e}_2$ 和 $\mathbf{e}_3$ 的线性组合留作练习。

请验证符号形式的命令

A=sym(A); [M, S]=eig(A)