生成

M=[–1, 3, –2] S=[4, 0, 0] [1, 1, 0] [0, 2, 0] [1, 0, 1] [0, 0, 2]

例 5.49 求矩阵的特征值及对应的特征向量

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 0 &a & 2 & 1 \ -1b & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

解答

解 求解 $|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = 0$ 得到特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 1$ 。对应于非重根即单重特征值 $\lambda_3 = 1$ 的特征向量容易求得为

$$\boldsymbol{e}_3 = [1 \quad 1 \quad -1]^T$$

当 $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = 2$ 时，对应的特征向量为

$$(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})\mathbf{e}_1 = \mathbf{0}$$

矩阵 $$(\mathbf{A} - \mathbf{2I}) = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 1 \ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$ 的秩 = 2，因此 $[q - \text{rank}(\mathbf{A})] = 1$ 我们预计有

一个自由参数，因而只需要一个独立的特征向量。完整写出后，我们寻找如下方程的解：

$$-e_{11} + 2e_{12} + 2e_{13} = 0 \quad (\text{i})$$

$$e_{13} = 0$$ (ii)

$$-e_{11} + 2e_{12} = 0$$ (iii)

由 (ii) 我们有 $e_{13} = 0$ ，并由 (i) 和 (iii) 可得 $e_{11} = 2e_{12}$ 。我们推断对应于该重特征值只有一个独立的特征向量 $\lambda = 2$ ，即

$$e_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}^T$$

在这种情况下，矩阵 $\mathbf{A}$ 不具有一组完整的独立特征向量。

从例 5.47–5.49 我们看到，如果一个 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 有重特征值，那么一组完整的 $n$ 个独立特征向量可能存在，也可能不存在。

可以看到，通过确定矩阵的秩可以解决所引入的复杂性 $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})$ 对于每个重复的特征值。这并不是一个简单的解决办法；更多细节以及这些思想的系统阐述可参见配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》（高等现代工程数学）。