5.7.5 习题

尽可能使用 MATLAB 核对你的答案。

96 求下列矩阵的特征值和特征向量

$$\begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 1 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{4} \ -1 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \ -1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

97 证明矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -2 & 2 & -3 \ 2 & 1 & -6 \ -1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$$

具有特征值 5、-3、-3。求相应的特征向量。对于重特征值，证明它有两个线性无关的特征向量，并且任何形如

$$\alpha \begin{bmatrix} -2 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 3 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

的向量也是它的特征向量。

98 求下列矩阵的特征值及相应的特征向量

$$(a) \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \ 1 & 3 & 1 \ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad (b) \begin{bmatrix} 0 & -2 & -2 \ -1 & 1 & 2 \ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

$$(c) \begin{bmatrix} 4 & 6 & 6 \ 1 & 3 & 2 \ -1 & -5 & -2 \end{bmatrix} \quad (d) \begin{bmatrix} 7 & -2 & -4 \ 3 & 0 & -2 \ 6 & -2 & -3 \end{bmatrix}$$

99 已知 $\lambda = 1$ 是矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -3 & -7 & -5 \ 2 & 4 & 3 \ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

的三重特征值，确定对应于该特征值 $\lambda$ 有多少个独立的特征向量。求出一组相应的独立特征向量。

100 已知 $\lambda = 1$ 是矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \ -1 & 0 & 1 \ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

确定一组线性无关的特征向量。

101 求矩阵的所有特征值和特征向量

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

5.7.6 特征值的一些有用性质

特征值的以下基本性质 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 属于一个 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 有时是有用的。这些结果既可以从特征值的定义出发轻松证明，即特征值是满足 (5.33) 的 $\lambda$ 的值，也可以通过比较相应的特征多项式 (5.35) 来证明。因此，证明留作练习 102。