图 5.21
n 粒子系统。

5.8.2 n 粒子系统

在最简单的情形中，如上所述，矩阵记法虽然方便但并非真正必要。如果我们试图将问题扩展到多个粒子和多个弹簧，那么这种记法可以大大简化问题的表述。考虑图 5.21 所示的问题。根据胡克定律

$$\begin{aligned} T_1 &= k_1(x_1 - l_1) \ T_2 &= k_2(x_2 - x_1 - l_2) \ T_3 &= k_3(x_3 - x_2 - l_3) \ &\vdots \ T_r &= k_r(x_r - x_{r-1} - l_r) \ &\vdots \ T_n &= k_n(L - x_{n-1} - l_n) \end{aligned}$$

每个“单元”的平衡方程为

$$\begin{aligned} k_1(x_1 - l_1) &= k_2(x_2 - x_1 - l_2) \ k_2(x_2 - x_1 - l_2) &= k_3(x_3 - x_2 - l_3) \ &\vdots \ k_r(x_r - x_{r-1} - l_r) &= k_{r+1}(x_{r+1} - x_r - l_{r+1}) \ &\vdots \ k_{n-1}(x_{n-1} - x_{n-2} - l_{n-1}) &= k_n(L - x_{n-1} - l_n) \end{aligned}$$

写成矩阵形式，这些方程变为

$$\begin{aligned} &\left[ \begin{array}{ccccccccc} k_1 + k_2 & -k_2 & & & & & & & \ -k_2 & k_2 + k_3 & -k_3 & & & & & & \ & -k_3 & k_3 + k_4 & -k_4 & & & & & \ & & \ddots & & \ddots & & \ddots & & \ & & & 0 & & & & & \ & & & & -k_{n-2} & k_{n-2} + k_{n-1} & -k_{n-1} & & \ & & & & & -k_{n-1} & k_{n-1} + k_n & & \ & & & & & & & x_{n-1} \end{array} \right] \ &= \left[ \begin{array}{c} k_1 l_1 - k_2 l_2 \ k_2 l_2 - k_3 l_3 \ \vdots \ k_{n-2} l_{n-2} - k_{n-1} l_{n-1} \ k_{n-1} l_{n-1} - k_n l_n + k_n L \end{array} \right] \end{aligned}$$