我们认得这些方程的形式，因为它们构成了前面研究过的三对角方程组（见第 5.5.2 节），我们可以使用 Thomas 算法（图 5.9）来求解它们。因此，通过将方程写成矩阵形式，我们立刻能够确定一种高效的求解方法。

在某些特殊情况下，解可以通过洞察力与物理直觉的结合来获得。如果我们取 $k_1 = k_2 = \dots = k_n$ 和 $l_1 = l_2 = \dots = l_n$ 并且所有耦合都相同，那么方程变为

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & & & & & & & 0 \ -1 & 2 & -1 & & & & & & 0 \ & -1 & 2 & -1 & & & & & \ & & -1 & 2 & & & & & \ & & & \ddots & \ddots & \ddots & & & \ & & & & 0 & -1 & 2 & -1 \ & & & & & & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \vdots \ 0 \ L \end{bmatrix}$$

我们应该预期所有间距都是均匀的，因此我们寻找形如 $x_1 = \alpha$ , $x_2 = 2\alpha$ , $x_3 = 3\alpha$ , $\dots$ 的解。前 $n - 2$ 个方程如预期那样恒成立，而矩阵形式下的最后一个方程给出 $[-(n - 2) + 2(n - 1)]\alpha = L$ 。因此 $\alpha = L/n$ ，我们的直觉解得到了验证。

在第二种存在简单解的特殊情况中，我们假设其中一个耦合是“异常”的。我们取 $k_1 = k_2 = \dots = k_{r-1} = k_{r+1} = \dots = k_n = k$ , $k_r = k'$ 和 $l_1 = l_2 = \dots = l_n = l$ 。如果我们将矩阵中的所有方程除以 $k$ 并写出 $\lambda = k'/k$ 则矩阵具有如下形式

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & & & & & & & 0 \ -1 & 2 & -1 & & & & & & 0 \ & -1 & 2 & -1 & & & & & \ & & \ddots & \ddots & \ddots & & & & \ & & & -1 & 2 & -1 & & & \ & & & & -1 & 1 + \lambda & -\lambda & & \ & & & & & -\lambda & 1 + \lambda & -1 & \ & & & & & & -1 & 2 & -1 \ & & & & & & & \ddots & \ddots \ & & & & & & & & -1 \ & & & & & & & & & -1 \ & & & & & & & & & & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_{r-1} \ x_r \ \vdots \ x_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \ l(1 - \lambda) \ l(\lambda - 1) \ \ 0 \ \vdots \ L \end{bmatrix}$$

一个合理的假设是“好”链接之间的间距都相同。因此我们尝试如下形式的解

$$\begin{aligned} x_1 &= a, \quad x_2 = 2a, \quad \dots, \quad x_{r-1} = (r - 1)a, \quad x_r = b \ x_{r+1} &= b + a, \quad x_{r+2} = b + 2a, \quad \dots, \quad x_{n-1} = b + (n - 1 - r)a \end{aligned}$$