可以验证，除第 $(r - 1)$ 行、第 $r$ 行和第 $(n - 1)$ 行外，矩阵方程均满足。它们分别给出

$$-\lambda b + a(-\lambda + 1 + \lambda r) = l(1 - \lambda)$$

$$\lambda b + a(\lambda - 1 - \lambda r) = l(\lambda - 1)$$

和

$$b + a(n - r) = L$$

其中前两个是相同的，因此我们得到关于两个未知数 a 和 b 的两个方程，可以求解。我们得到

$$a = \frac{L - l(1 - \lambda^{-1})}{n - (1 - \lambda^{-1})}, \quad b = \frac{rL - (1 - \lambda^{-1})[L - (n - r)l]}{n - (1 - \lambda^{-1})}$$

我们注意到，如果 $\lambda = 1$ 那么解就化归为前一个解，正如所料。

刚才得到的解给出了单个异常耦合引起的形变。虽然这个问题本身意义有限，但它的二维和三维推广在晶格理论中具有重要意义。可以确定单个杂质引起的形变，计算两个或多个杂质的影响，以及它们彼此相互作用所需的接近程度。这些问题在材料科学中有着广泛的应用。

5.9 工程应用：通过复合材料的稳态传热

5.9.1 引言

在许多实际情况中，热量通过几层不同的材料传递。也许最简单的例子是双层玻璃窗，它由一层玻璃、一层空气和另一层玻璃组成。各层的热学性质和厚度是已知的，但需要的是复合单元的整体热学性质。整体性质如何依赖于各组成部分？哪些参数最重要？整体传热对各组成部分的变化有多敏感？

第二个例子考察炉壁的厚度。炉壁由三层组成：耐热的耐火砖、隔热的保温砖以及起机械保护作用的钢壳。建造这样的炉子成本极其高昂，因此重要的是在可接受的热损失、可使用的工作温度以及已知的厚度限制条件下，使炉壁厚度最小化。基本问题同样是建立一个模型，以便对热量如何通过这种复合材料有所了解。

下面将讨论热传导的基本性质，然后将会看到，矩阵为求解复合层的理论方程提供了一种自然的方法。