5.9.2 热传导

在最一般的情况下，热传导是偏微分方程的一部分（参见 Advanced Modern Engineering Mathematics 第3版第9章）。然而，就当前目的而言，一个简化的一维版本就足够了。该理论建立在公认的傅里叶定律之上：

单位面积传递的热量与温度梯度成正比。

只要该层不太厚且热学性质不变，那么温度在固体中呈线性变化。如果 $Q$ 是从左侧（温度为 $T$ ）传递到右侧（温度为 $T'$ ）的单位面积热量，如图5.22所示，那么该定律在数学上可以写成

$$Q = -k \frac{T' - T}{a}$$

其中 k 是比例常数，称为热导率，a 是该层的厚度，负号是为了确保热量从热处传向冷处。

对于穿过两个接触良好的固体之间界面的传导，如炉壁的情形，假设

• (i) 界面两侧的温度相等；

(ii) 从左侧流出的热量等于流入右侧的热量。

利用傅里叶定律和这些界面条件，只要热流保持一维且稳定，多层情形就可以得到令人满意的分析。

• 5.9.3 三层情形

设三层厚度分别为 a1、a2 和 a3，热导率分别为 k1、k2 和 k3，如图5.23所示。在界面处的温度取为 T1、T2、T3 和 T4。要研究的最简单问题是固定边缘温度 T1 和 T4，并确定温度 T2 和 T3 如何依赖于已知参数。

根据问题的设定，界面处的温度是给定的，因此只需满足穿过界面的热传递条件。

在第一个界面处

而在第二个界面处

$$\frac{k_1}{a_1}(T_2 - T_1) = \frac{k_2}{a_2}(T_3 - T_2)$$

事实证明，令以下做法是方便的：令

$$\frac{k_2}{a_2}(T_3 - T_2) = \frac{k_3}{a_3}(T_4 - T_3)$$

$u_1 = \frac{a_1}{k_1}$ , $u_2 = \frac{a_2}{k_2}$ 等等。于是方程变为

$$u_2(T_2 - T_1) = u_1(T_3 - T_2)$$

$$u_3(T_3 - T_2) = u_2(T_4 - T_3)$$

图 5.22 通过各层的热传递。

O x

图 5.23 三层中的温度分布。