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或写成矩阵形式
$$\begin{bmatrix} (u_1 + u_2) & -u_1 \ -u_3 & (u_2 + u_3) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_2 \ T_3 \end{bmatrix} = u_2 \begin{bmatrix} T_1 \ T_4 \end{bmatrix}$$
该矩阵的行列式很容易计算为 $u_2(u_1 + u_2 + u_3)$ ，其值非零，因此可以按如下方式求解
$$\begin{bmatrix} T_2 \ T_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{(u_1 + u_2 + u_3)} \begin{bmatrix} (u_2 + u_3) & u_1 \ u_3 & (u_1 + u_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_1 \ T_4 \end{bmatrix}$$
于是温度 $T_2$ 和 $T_3$ 现已已知，任何所需的属性都可以推导出来。
对于前面描述的炉子问题（见第 5.9.1 节），已知以下数据：
$$T_1 = 1650 \text{ K} \quad \text{and} \quad T_4 = 300 \text{ K}$$
和
| 最高工作温度（K） | 100 K 时的热导率（ $\text{W m}^{-1} \text{K}^{-1}$ ) | 2000 K 时的热导率（ $\text{W m}^{-1} \text{K}^{-1}$ ) | |
|---|---|---|---|
| 耐火砖 | 1700 | 3.1 | 6.2 |
| 保温砖 | 1400 | 1.6 | 3.1 |
| 钢 | - | 45.2 | 45.2 |
需要注意的是，导热系数随温度变化，但在这些计算中假定其为常数（要考虑这些变化需要进行更复杂的分析）。选取平均值 $k_1 = 5$ , $k_2 = 2.5$ 和 $k_3 = 45.2$ 。所需温度计算如下
$$T_2 = \frac{(0.4a_2 + 0.022a_3)1650 + (0.2a_1)300}{0.2a_1 + 0.4a_2 + 0.022a_3}$$
$$T_3 = \frac{(0.022a_3)1650 + (0.2a_1 + 0.4a_2)300}{0.2a_1 + 0.4a_2 + 0.022a_3}$$
一个典型的问题是如何在适当的约束条件下使厚度（或成本）最小化。例如，求
$$\min(a_1 + a_2 + a_3)$$
约束条件为
$$\frac{k_3}{a_3}(300 - T_3) < 50,000 \quad (\text{allowable heat loss at the right-hand boundary})$$
$$T_2 < 1400 \quad (\text{below the maximum working temperature})$$
$$a_1 > 0.1 \quad (\text{must have a minimum refractory thickness})$$
该问题超出了本书的范围，但它说明了可以回答的问题类型。