一个更直接的问题是评估复合材料的有效导热系数。可以注意到，在一般情况下，热流为

$$Q = -\frac{1}{u_1}(T_2 - T_1) \quad \text{which on substitution gives } Q = -\frac{T_4 - T_1}{u_1 + u_2 + u_3}$$

因此整个区域的有效导热系数为

$$k = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{u_1 + u_2 + u_3} \quad \text{or} \quad \frac{a_1 + a_2 + a_3}{k} = \frac{a_1}{k_1} + \frac{a_2}{k_2} + \frac{a_3}{k_3}$$

5.9.4 多层情形

虽然矩阵理论被用来解决三层问题，但这其实并无必要，因为数学上可简化为求解一对联立方程。然而，对于多层系统，重要的是以逻辑和系统的方式处理问题，而矩阵理论被证明是理想的数学方法。

依次考虑各个界面，并为每个界面建立热流方程（图 5.24）：

$$\begin{aligned} \frac{k_1}{a_1}(T_2 - T_1) &= \frac{k_2}{a_2}(T_3 - T_2) \ \frac{k_2}{a_2}(T_3 - T_2) &= \frac{k_3}{a_3}(T_4 - T_3) \ &\vdots \ \frac{k_{n-1}}{a_{n-1}}(T_n - T_{n-1}) &= \frac{k_n}{a_n}(T_{n+1} - T_n) \end{aligned}$$

与三层情形一样，方便起见可定义 $u_1 = \frac{a_1}{k_1}$ , $u_2 = \frac{a_2}{k_2}$ 依此类推。于是方程变为

$$\begin{aligned} u_2(T_2 - T_1) &= u_1(T_3 - T_2) \ u_3(T_3 - T_2) &= u_2(T_4 - T_3) \ u_4(T_4 - T_3) &= u_3(T_5 - T_4) \ &\vdots \ u_n(T_n - T_{n-1}) &= u_{n-1}(T_{n+1} - T_n) \end{aligned}$$

图 5.24
n 层问题。