或写成矩阵形式

$$\begin{bmatrix} (u_1 + u_2) & -u_1 & 0 & \dots & \dots & 0 & \dots & 0 \ -u_3 & (u_2 + u_3) & -u_2 & 0 & \dots & 0 & \dots & 0 \ 0 & -u_4 & (u_3 + u_4) & -u_3 & 0 & \dots & 0 & 0 \ & & & & & & & \dots \ & & & & & & & \dots \ & & & & & & & \dots \ & & & & & & & \dots \ & & & & & & & \dots \ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & -u_n & (u_{n-1} + u_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_2 \ \vdots \ \vdots \ \vdots \ \vdots \ T_n \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} u_2 T_1 \ 0 \ 0 \ \vdots \ 0 \ u_{n-1} T_{n+1} \end{bmatrix}$$

该矩阵方程为三对角形式，因此我们知道存在高效的求解算法。像三层情形那样给出显式解并不容易，需要大量的工作。然而，证明整个复合材料的有效电导率 (k) 可由如下等价公式求得，是一个相对简单的练习

$$\frac{\sum a_i}{k} = \frac{a_1}{k_1} + \frac{a_2}{k_2} + \dots + \frac{a_n}{k_n}$$

1 已知

$$P = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad Q = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -1 \ 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

和

$$R = \begin{bmatrix} 2 & 7 & -6 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

(a) 计算 RQ 和 Q^T RT ；

(b) 计算 $Q + R$ , $PQ$ 和 $PR$ ，从而验证在这种特殊情况下

$$P(Q + R) = PQ + PR$$

2 设

$$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \ 4 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ \lambda & \mu \end{bmatrix}$$

5.10 复习题 (1–26)

请尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。