3 在弹性连续体中某点处，相对于坐标轴表示的无限小应变张量的矩阵为 $Ox_1x_2x_3$ 是

$$E = \begin{bmatrix} 1 & -3 & \sqrt{2} \ -3 & 1 & -\sqrt{2} \ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$$

如果 $i, j$ 和 $k$ 是沿 $Ox_1x_2x_3$ 坐标轴方向的单位向量，试确定

$$n = \frac{1}{2}(i - j + \sqrt{2}k)$$ 方向上的正应变，以及方向 $n$ 与 $$n n = \frac{1}{2}(i - j + \sqrt{2}k) \$$

之间的剪应变，以及方向 $\mathbf{n}$ 与

方向之间的剪应变 $$\mathbf{n} = \frac{1}{2}(\mathbf{i} - \mathbf{j} + \sqrt{2}\mathbf{k})$$ 该平面之间的剪应变 $\mathbf{i} + \mathbf{j} = 0$ 和 $\mathbf{i} - \mathbf{j} = 0$ 为

注： 使用矩阵记号，正应变为 $En$ ，两个方向之间的剪应变为 $m^T En$ 。

4 将行列式

表示为线性因子的乘积。

5 确定使方程组 $\theta$ 有解的

$$x + y + z = 1$$

$$x + 2y + 4z = 0$$

$$x + 4y + 10z = \theta^2$$

的值，并对每个这样的值求出所有解。

6 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 2 \ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{A}^3 - \mathbf{A}^2 - 3\mathbf{A} + \mathbf{I} = \mathbf{0}$$

其中 $I$ 为三阶单位矩阵。利用这一结果，或用其他方法，求逆矩阵 $\mathbf{A}^{-1}$ of $\mathbf{A}$ ，从而求解方程

$$x + y + z = 3$$

$$2x + y + 2z = 7$$

$$-2x + y - z = 6$$

7 (a) 若 $\mathbf{P} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \ -2 & 2 & 1 \ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ 写出

转置矩阵 $\mathbf{P}^T$ 。计算 $\mathbf{PP}^T$ 从而证明 $\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^{-1}$ 。这对矩阵方程的解意味着什么 $\mathbf{Px} = \mathbf{b}$ ?

• (b) 矩阵 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} I_x & I_{xy} & Q_x \ I_{xy} & I_y & Q_y \ Q_x & Q_y & A \end{bmatrix}$ 出现在

拱的结构分析中。若

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -Q_x/A \ 0 & 1 & -Q_y/A \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

求 E = BFB^T 并证明它是一个对称矩阵。

8 (a) 若矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ 证明 $\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}$

并推导满足下式的方阵 B 的元素

$$BA = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \ 0 & 2 & 1 \ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

注： $\mathbf{A}^2 = \mathbf{I}$ 表示 $\mathbf{A}$ 的逆是 $\mathbf{A}$ 本身。

(b) 为 $k$ 求出合适的值，使得下列线性联立方程组是相容的：

$$6x + (k - 6)y = 3$$

$$2x + y = 5$$

$$(2k + 1)x + 6y = 1$$