9 将线性方程组表示为

$$3x - y + 4z = 13$$

$$5x + y - 3z = 5$$

$$x - y + z = 3$$

的形式 AX = b，其中 A 是一个 3 × 3 矩阵，X、b 是适当的列矩阵。

• (a) 求 adj $\mathbf{A}$ , $|\mathbf{A}|$ 和 $\mathbf{A}^{-1}$ ，从而解该方程组。
• (b) 求一个满足方程

AYA 的矩阵 Y⁻¹ = 22A⁻¹ + 2A

• (c) 求一个矩阵 $\mathbf{Z}$ 满足方程

$$\mathbf{AZ} = 44I_3 - \mathbf{A} + \mathbf{AA}^T$$

其中 $I_3$ 是 $3 \times 3$ 单位矩阵。

10 (a) 用高斯消元法求方程的解

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \ 2 & 7 & 13 & 25 \ -1 & 1 & 5 & 9 \ 2 & 1 & 11 & 24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \ 57 \ 16 \ 52 \end{bmatrix}$$

由此求方程中矩阵的行列式的值。

• (b) 用高斯消元法求解

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \ 2 & 3 & -3 & 3 \ -1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 11 \ 1 \ 13 \end{bmatrix}$$

采用 p 部分选主元。

11 重新排列方程组

$$x_1 - x_2 + 3x_3 = 8$$

$$4x_1 + x_2 - x_3 = 3$$

$$x_1 + 2x_2 + x_3 = 8$$

使其对角占优，以保证高斯–赛德尔方法的收敛性。编写一个 MATLAB 程序，使用该方法从

(0, 0, 0) 开始求这些方程的解。将你的解与方程未重新排列时程序所得的解进行比较。使用 SOR，取 $\omega = 1.3$ ,来求解方程组。是否有任何改进？

12 求矩阵的秩

$$\begin{bmatrix} 0 & c & b & a \ -c & 0 & a & b \ -b & -a & 0 & c \ -a & -b & -c & 0 \end{bmatrix}$$

其中 $b \neq 0$ 和 $a^2 + c^2 = b^2$ .

13 对于给定的离散数据点集合 (xi , fi ) (i = 0, 1, 2, p , n)，证明拟合多项式的系数 ak (k = 0, 1, p , n)

$$y(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$$

由写成矩阵形式的方程组的解给出，如下所示

$$Aa = f$$

其中

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n \ 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{a} = [a_0 \quad a_1 \quad \dots \quad a_n]^\top$$

$$f = [f_0 \quad f_1 \quad \dots \quad f_n]^T$$

（关于这些方程在以下情形下的拉格朗日插值解，参见习题 2.9.2 中的第 103 题 $n = 3$ 。）

以下数据取自艾里函数的表格 $f(x) = \text{Ai}(-x)$ :

Esthe 多项式近似值 $f(2.0)$ 和 $f(3.5)$ .