14 将数据拟合为三次曲线

$$f = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

曲线的斜率由下式给出

$$f' = 3ax^2 + 2bx + c$$

如果 $f_1 = f(x_1)$ , $f_2 = f(x_2)$ , $f'_1 = f'(x_1)$ 且 $f'_2 = f'(x_2)$ ，证明拟合数据得到的关于 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ 的矩阵方程为

$$\begin{bmatrix} f_1 \ f_2 \ f'_1 \ f'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1^3 & x_1^2 & x_1 & 1 \ x_2^3 & x_2^2 & x_2 & 1 \ 3x_1^2 & 2x_1 & 1 & 0 \ 3x_2^2 & 2x_2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \ c \ d \end{bmatrix}$$

使用高斯消元法计算 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ 。对于情形

求值 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ 。绘制该三次曲线并估计 $f$ 在该区域 $0 < x < 1$ 内的最大值。注意，本题是求函数 $f(x)$ 最大值的标准方法之一的基础。

15 变换 $y = \mathbf{A}X$ 其中

$$\mathbf{A} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 8 & -1 & -4 \ 4 & 4 & 7 \ 1 & -8 & 4 \end{bmatrix}$$

$$y = \begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$$

将坐标为 $(x_1, x_2, x_3)$ 的点变为坐标为 $(y_1, y_2, y_3)$ 的点。证明变换后仍为自身的点，其坐标满足矩阵方程 $\mathbf{B}X = 0$ , 其中 $\mathbf{B} = \mathbf{A} - \mathbf{I}$ , 以及 $\mathbf{I}$ 为单位矩阵。求 $\mathbf{B}$ 的秩，并由此推出对于变换到自身的点

$$[x_1 \quad x_2 \quad x_3] = \alpha \begin{bmatrix} -3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

求 $\mathbf{A}\mathbf{A}^T$ 。那么 $\mathbf{A}$ 的逆是什么？

若 $y_1 = 3$ , $y_2 = -1$ 和 $y_3 = 2$ ，求 $x_1$ , $x_2$ 和 $x_3$ 在此变换下。

16 (a) 若

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 2 & 1 \ 1 & -2 & 2 & -2 \ 2 & 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$

验证

$$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -1 & 0 \ -5 & 3 & 1 & -1 \ -5 & 2 & 1 & 0 \ 3 & -2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

(b) 使用 (a) 中给出的逆矩阵求解线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ 其中

$$\mathbf{b}^T = [5 \quad -5 \quad -4 \quad 4]$$

17 当一个物体以某种方式变形时，位于点 $X$ 处的质点移动到 $\mathbf{A}X$ ，其中

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \ -2 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

(a) 点 $\begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 会移动到 $\mathbf{A}X$ 哪里？

(b) 求质点从哪个点移动到点 $\begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 。

18 求下列矩阵的本征值和归一化本征矢

$$(a) \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \ 2 & 1 & -1 \ -2 & 2 & 4 \end{bmatrix} \quad (b) \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \ -2 & 0 & 5 \ 6 & -3 & 6 \end{bmatrix}$$