如果集合的每个元素 $A$ 也是集合的元素 $B$ 则称 $A$ 是 $B$ 的子集 $B$ 或者等价地， $A$ 是 $A$ 的超集 $B$ 。命题“ $A \subset B$ 是……的子集”记作“ $B$ 是……的超集 $A$ ' 写作 $B \supset A$ 。这两个命题的否定分别写作 $A \not\subset B$ 和 $B \not\supset A$ 。注意，如果 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ 那么 $A = B$ , 因为 $A$ 的每个元素 $B$ 都是……的元素，反之亦然。因此，子集的定义并不排除两个集合相等的可能性。如果 $A \subset B$ 且 $A \neq B$ 则 $A$ 被称为 $B$ 的真子集。为了区分子集与真子集，我们将使用记号 $A \subseteq B$ 表示 ' $A$ 是 $B$ 的子集'，并用 $A \subset B$ 表示 ' $A$ 是 $B$ 的真子集'。例如，

$$A = {a, b, c}$$ 是真子集 $B = {a, b, c, d, e, f}$

不含任何元素的集合称为空集或零集，记作 $\emptyset$ 。例如，

$$A = {x: x^2 = 25, x \text{ even}}$$

是空集的一个例子，因此 $A = \emptyset$ 。需要注意的是，空集可以被视为任何集合的子集。

在大多数应用中，可以合理地定义一个全集 $U$ ，它包含所有感兴趣的元素。例如，在处理整数集合时，全集是所有整数构成的集合；而在二维几何中，全集包含平面上的所有点。在这种情况下，我们可以定义一个集合的补集 $A$ ：如果将集合 $A$ 的所有元素从全集 $U$ 中移除，则 $U$ 中剩余的元素构成其补集 $A$ , 记作 $\bar{A}$ 。因此集合 $A$ 与 $\bar{A}$ 没有公共元素，我们可以写成

$$\bar{A} = {x: x \in U, x \notin A}$$

集合之间的关系可以用称为 维恩图（Venn diagrams） 的示意图来说明，其中每个集合表示为平面上一个封闭区域（通常画成圆形）的内部。通常用外围的矩形来表示全集。例如， $A \subset B$ 与 $\bar{A}$ 分别由图 6.1(a) 和 (b) 的维恩图所示。

图 6.1

6.2.2 并集与交集

若 $A$ 和 $B$ 是两个集合，属于同一个全集 $U$ ，那么我们可以通过以下两种不同的方式组合 $A$ 和 $B$ 来形成新的集合。