解答 我们可以把使用品牌 X、Y 和 Z 的用户分别看作集合 X、Y 和 Z 中的元素。如果用 m 表示使用品牌 X、Y 和 Z 的用户数量，那么我们可以用图 6.5 的维恩图来说明所有给定的信息。这样我们就可以回答所给的两个问题。

(a) 由于有 14 个用户没有使用这三个品牌中的任何一个，我们有 $100 - 14 = 86$ 个用户使用了一个或多个品牌，所以

元素的个数为 $$X \cup Y \cup Z = 86$$

因此，由维恩图可得

30 + (8 − m) + m + (9 − m) + 22 + (7 − m) + 18 = 86

$$94 - 2m = 86$$

解得 $$m = 4$$

这表明有 4 个用户同时使用全部三个品牌 X、Y 和 Z。

(b) 使用品牌 X 和 Z 但不使用 Y 的用户数是以下集合中元素的个数 $(X \cap Z) \cap \bar{Y}$ ，即维恩图中标示为含有 $9 - m$ 个元素的区域。因此所求答案为 $9 - m = 9 - 4 = 5$ 个用户。

例 6.4 某公司制造起重机。起重机有三种基本类型，分别标记为 A、B 和 C。每台起重机由子部件集合 {a, b, c, d, e, f} 按如下方式组装而成：

A 由 {a, b, c, d} 组装而成

B 由 {a, c, f} 组装而成

C 由 {b, d, e} 组装而成

而子部件又由基本组件 {p, q, r, s, t, u, v, w, x, y} 按如下方式制造：

a 由 {p, q, r, s} 制造而成

b 由 {q, r, t, v} 制造而成

c 由 {p, r, s, t} 制造而成

d 由 {p, w, y} 制造而成

e 由 {u, x} 制造而成

f 由 {p, r, u, v, x, y} 制造而成

(a) 给出下列子部件的组成：

(b) 已知 A 在纽卡斯尔制造，B 和 C 在伯明翰制造，两个工厂分别需要哪些组件可用？

图 6.5