解答 本题的解答是集合论的一个相当直接的应用。根据所给 a、b、c、d、e 和 f 的定义，以及两个集合的并集包含属于其中一个、另一个或两者共有的元素这一事实，可以写出以下各式：

(i) $$a \cup b = {p, q, r, s, t, v}$$

(ii) $$a \cup c \cup f = {p, q, r, s, t, u, v, x, y}$$

(iii) $$d \cup e = {p, u, w, x, y}$$

这就解决了 (a)。

现在，A 由子组件 {a, b, c, d} 构成，而 B 和 C 都需要 {a, b, c, d, e, f }。检查制造全部六个子组件所需的零部件可以发现，子组件 a、b、c 和 d 不需要零部件 u 和 x。因此只有零部件 u 和 x 不必在两个地点都备有。用集合论的记号表示，(b) 的解是构成

a ø b ø c ø d

的零部件必须在两个地点都备有，或者等价地

$$a \cup b \cup c \cup d$$

只需在伯明翰地点备有即可。

评注 当然，例 6.4 的叙述远比求解耗时，它太简单了，不足以代表实际情况。在一家真实的起重机制造公司中，基本型号可能有二十种；而在一家汽车生产厂中，基本型号只有少数几种，但层级却远多于三个。不过，这个例子展示了集合论如何用于分类目的。同样应该清楚的是，集合论因其精确性，非常适合作为构建用户友好型计算机程序（专家系统）的框架，当例如总经理提问时，该程序能够回答与例 6.4 的 (b) 部分等价的问题。

6.2.5 习题

9 设 A、B 和 C 分别为集合 {2, 5, 6, 7, 10}、{1, 3, 4, 7, 9} 和 {2, 3, 5, 8, 9}，验证

(a) $$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$$

(b) $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

10 利用集合代数的规则，验证吸收律

(a) $$X \cup (X \cap Y) = X$$      (b) $X \cap (X \cup Y) = X$

11 利用集合代数的定律，化简下列各式：

(a) $$A \cap (\bar{A} \cup B)$$      (b) $(\bar{A} \cup \bar{B}) \cap (A \cap B)$

(c) $$(A \cup B) \cap (A \cup \bar{B})$$      (d) $(\bar{A} \cap \bar{B}) \cup (A \cup B)$

(e) $(A \cup B \cup C) \cap (A \cup B \cup \bar{C}) \cap (A \cup \bar{B})$

(f) $$(A \cup B \cup C) \cap (A \cup (B \cap C))$$

(g) $$(A \cap B \cap C) \cap (A \cup B \cup \bar{C}) \cup (A \cup \bar{B})$$

12 定义差 $A - B$ 两个集合之间 $A$ 和 $B$ 属于同一个全集 $U$ 为由 $A$ 中不是 $B$ 的元素组成的集合，即 $A - B = A \cap \bar{B}$ ，验证以下性质：

(a) $$U - A = \bar{A}$$      (b) $(A - B) \cup B = A \cup B$

(c) $$C \cap (A - B) = (C \cap A) - (C \cap B)$$

(d) $$(A \cup B) \cup (B - A) = A \cup B$$