English · PDF 480
中文 · PDF 480
引入重言式和矛盾式命题 $t$ 和 $s$ 分别导出同一律和补律
同一律
$$p \vee s \equiv p$$ ( $s$ 是关于 $\vee$ )
$$p \wedge t \equiv p$$ ( $t$ 的同一元素 $\wedge$ )
是关于
$$p \vee \tilde{p} \equiv t, \quad p \wedge \tilde{p} \equiv s$$
的同一元素 $\vee$ 补律 $\wedge$ 类似于集合代数中的 (6.3) 和 (6.4)。
由此可知，命题代数是布尔代数的另一个例子，其中， $\sim$ 为一元运算， $s$ 和 $t$ 为单位元。因此，为集合代数所发展的所有结果都可以推广到命题代数中，其中 $\cup$ , $\cap$ , $\overline{\cap}$ , $\emptyset$ , $\cup$ 和 $\vee$ , $\wedge$ , $\sim$ , $s$ , $t$ 分别对应等价。这些规则随后可用于将复杂命题化简为较简单的复合命题。命题代数的这些规则构成了命题逻辑的基础。
| p | q | p˜ | q˜ | p ⋁ q p | ⋁ q | p˜ ⋀ q˜ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | T | F | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | T | T |
图 6.40 的真值表 $\widetilde{p \vee q} \equiv \widetilde{p} \wedge \widetilde{q}$ .
| p | q | p˜ | q˜ | p ⋀ q p | ⋀ q | p˜ ⋁ q¯ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
图 6.41 的真值表 $\widetilde{p \wedge q} \equiv \widetilde{p} \vee \widetilde{q}$ 。
例 6.17 构造一个真值表，以验证与集合代数中的 (6.1) 类似的命题代数的德摩根定律。
解 与之类似的命题德摩根定律是否定式
$$(\widetilde{p \vee q}) \equiv \widetilde{p} \wedge \widetilde{q}, \quad (\widetilde{p \wedge q}) \equiv \widetilde{p} \vee \widetilde{q}$$
其有效性由图 6.40 和图 6.41 中所示的表格验证。