6.4.4 练习题

• 32 对下列命题取否定：

• (d) 当超过设计载荷时，桥梁会倒塌。

  33 确定下列命题的真值：

• (d) $a + bc = (a + b)(a + c)$ 对于实数 $a, b$ 和 $c$ 。

  34 判断下列哪些是命题，哪些不是。对于是命题的，确定其真值。

• 对下列命题取否定：

  (a) 弗雷德是我的兄弟。 (b) 12 是偶数。 (c) 明年冬天将有大风。 (d) 当超过设计载荷时，桥梁会倒塌。确定下列命题的真值：

  (a) 世界是平的。 (b) $2^n + n$ 对于某个整数是素数 $n$ . (c) $a^2 = 0$ 蕴含 $a = 0$ 对于所有 $a \in \mathbb{N}$ . (d) $a + bc = (a + b)(a + c)$ 对于实数 $a, b$ 和 $c$ 。判断下列哪些是命题，哪些不是。对于是命题的，确定其真值。

  (a) $x + y = y + x$ 对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$ . (b) $AB = BA$，其中 $A$ 和 $B$ 是方阵。 (c) 学者都心不在焉。 (d) 我认为世界是平的。 (e) 去叫一个警察来。 (f) 每个大于 4 的偶整数都是两个素数之和。（这就是哥德巴赫猜想。）35 设 $A, B$ 和 $C$ 为下列命题：

  (a) 天正在下雨 (b) 太阳正在照耀 (c) 天空中有云将下列内容翻译成逻辑记号：

  (a) 天正在下雨且太阳正在照耀。 (b) 如果天正在下雨，那么天空中有云。 (c) 如果天没有下雨，那么太阳没有照耀且天空中有云。 (d) 如果天空中没有云，那么太阳正在照耀。36 设 $A, B$ 和 $C$ 如第 35 题中的 b。将下列逻辑表达式翻译成英文句子：

  (a) $A \wedge B \rightarrow C$ (b) $(A \rightarrow C) \rightarrow B$ (c) $\tilde{A} \rightarrow (B \vee C)$ (d) $(\tilde{A} \vee \tilde{B}) \wedge C$37 考虑这个有歧义的句子

  $x^2 = y^2$ 蕴含 $x = y$ 对于所有 $x$ 和 $y$

  (a) 将该句子变成一个为真的命题。 (b) 将该句子变成一个为假的命题。

6.4.5 蕴含与证明

命题逻辑中第三类重要的复合语句是蕴含，它处于数学论证的核心。我们在例 6.14 中已经简要地见过它，但这里给出它的正式定义。如果 $p$ 和 $q$ 是两个语句，那么我们将蕴含复合语句写作

如果 $p$ 那么 $q$

它断言的真值 $p$ 保证了……的真值 $q$ 。或者，我们说

$p$ 蕴含 $q$

并采用符号 $p \rightarrow q$ （记号 $p \Rightarrow q$ 也很常用）。

对应的真值表 $p \rightarrow q$ 如图 6.42 所示。从真值表可以看出， $p \rightarrow q$ 仅在 $p$ 为真且 $q$ 为假。起初，关于 $p \rightarrow q$ 为真而 $p$ 为假这一观察可能显得奇怪，但一个简单的例子应该

图 6.42