且

如果我淋湿了，那么相应地我会去雨中散步。第一个命题， $p \rightarrow q$ 为真，但第二个命题， $q \rightarrow p$ 为假（我可能在洗澡）。

一个同时断言 $p \rightarrow q$ 和 $q \rightarrow p$ 的蕴含命题称为双蕴含，记作

$$p \leftrightarrow q$$

，可以用语言表述为

p 当且仅当 q

或“ $p$ 是 $q$ 的充分必要条件”。同样，符号 $p \Leftrightarrow q$ 也常用来表示双蕴含。

因此可得 $p \leftrightarrow q$ 被定义为

$$(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$$

其真值表如图 6.45 所示。

从图 6.45 中我们可以看到 $p \leftrightarrow q$ 为真，当且仅当 $p$ 和 $q$ 具有相同的真值；当 $p$ 和 $q$ 具有不同的真值时为假。因此可以得出

$$(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \equiv q)$$

也就是说，命题 $p \leftrightarrow q$ 和 $p \equiv q$ 中的每一个都蕴含另一个。当涉及否定命题时，我们在解释蕴含时必须小心。一个常见的错误是认为如果蕴含

$$p \rightarrow q$$

成立，那么蕴含

$$\tilde{p} \rightarrow \tilde{q}$$

也是有效的。稍加思考你就会发现，这并不一定成立。通过重新考虑前面的例子可以证实这一点，此时否定式 $\tilde{p}$ 和 $\tilde{q}$ 将是

p˜：我不冒雨去散步

$$\tilde{q}$$ ：我没有被淋湿

图 6.45

图 6.4：真值表用于 $p \leftrightarrow q$ .