图 6.46
的等价性 $p \rightarrow q$ 和 $\tilde{q} \rightarrow \tilde{p}$ .

（这显然是假的，因为有人可以朝我泼一桶水。）所以 $p \rightarrow q$ 和 $\tilde{p} \rightarrow \tilde{q}$ 具有不同的真值。构造这两个真值表将严格地证明这一点。另一方面，蕴含命题 $p \rightarrow q$ 和 $\tilde{q} \rightarrow \tilde{p}$ 是等价的，这可以从图 6.46 的真值表中看出。蕴含式 $\tilde{q} \rightarrow \tilde{p}$ 被称为蕴含式 $p \rightarrow q$ 的逆否形式。

在数学中，我们需要毫无疑义地确立命题的真实性。如果我们用 $p$ 表示一种称为假设的命题类型，并用 $q$ 一种称为结论的第二类命题，那么该蕴含 $p \rightarrow q$ 就称为一个定理。

一般地， $p$ 可以由若干个命题构成；然而，定理中通常只有一个结论。以一个结论结尾、且每个命题都被视为有效的命题序列，称为一个证明。在实践中，证明定理有三种方法：直接证明、间接证明和归纳证明。直接证明顾名思义，就是通过一系列有效的推理直接建立结论。下面是一个直接证明的例子。

例 6.19

若 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ，证明 $2 \times 2$ 矩阵的逆

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \quad (ad \neq bc) \quad \text{is} \quad \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$$

解

这已经完成过（见 5.4 节）。在命题逻辑的语境下，我们方便地将证明拆分如下。

$H_1$ ：若存在一个 $2 \times 2$ 矩阵 $\mathbf{B}$ 使得

$$\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_2$$

其中 $\mathbf{I}_2$ 是单位矩阵，则 $2 \times 2$ 是的逆矩阵，其中 $\mathbf{B}$ 是的逆矩阵 $\mathbf{A}$

$$H_2: \begin{bmatrix} \alpha & 0 \ 0 & \alpha \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \mathbf{I}_2$$

$$H_3: \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \ 0 & ad - bc \end{bmatrix}$$