利用 H2，我们推出

$$\begin{bmatrix} ad - bc & 0 \ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (ad - bc) \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \ = (ad - bc) \mathbf{I}_2$$

两边除以 ad – bc 即得结论。

在此证明中，H1 是一个定义，因而为真；H2 和 H3 是第 5 章中建立的矩阵性质。（可以将 H3 拆分为详细描述矩阵乘法过程的算术假设。）因此

$$H_1 \wedge H_2 \wedge H_3 \text{ implies } \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$$

从而证明了右端是 A 的逆。

我们已经看到 $p \rightarrow q$ 与 $\tilde{q} \rightarrow \tilde{p}$ 在逻辑上是等价的。在证明中使用这一点有时会使论证更易于理解，我们称之为间接证明。下面是这样一个例子。

例 6.20 证明：若 $a + b \geq 15$ 则要么 $a \geq 8$ 要么 $b \geq 8$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

解 设 p、q 和 r 为命题

$$p: a + b \geq 15 \quad q: a \geq 8 \quad r: b \geq 8$$

那么这些命题的否定是

$$\tilde{p}: \quad a + b < 14 \quad \quad \quad \tilde{q}: \quad a < 7 \quad \quad \quad \tilde{r}: \quad b < 7$$

待证明的命题可以用逻辑记号表示为

$$p \rightarrow (q \vee r)$$

这等价于

$$(\widetilde{q \vee r}) \rightarrow \tilde{p}$$

或者，利用德摩根定律，

$$(\tilde{q} \wedge \tilde{r}) \rightarrow \tilde{p}$$

如果我们证明了这个蕴含命题的真理性，那么我们也就证明了

$$p \rightarrow (q \vee r)$$

我们有

$$\tilde{q} \wedge \wedge \tilde{r} \colon a < 7 \text{ and } b < 7$$

$$\tilde{p}: \quad a + b < 14$$