因此 $\tilde{p} \wedge \tilde{r} \rightarrow \tilde{p}$ 是

$a < 7$ 且 $b < 7$ 蕴含 $a + b < 14$ 对于整数 $a$ 和 $b$

这显然成立。

我们由此证明了 $p \rightarrow (q \vee r)$ ，证毕。

另一种间接证明的形式是反证法。我们不证明“ $p$ 为真”，而是证明“ $\tilde{p}$ 为假”。下面给出这种间接证明的一个例子。

证明： $\sqrt{2}$ 是无理数。

解答 设 $p$ 为命题

即 $$\sqrt{2}$$ 是无理数，而 $p$ 为命题 $p$ : $\sqrt{2}$ 是无理数 $\tilde{p}$ 为命题

则 $\tilde{p}$ 为命题

$$\tilde{p}$$ : $\sqrt{2}$ 是有理数

设 $p$ 为命题
$p: \sqrt[2]{2}$ 是无理数
则 $\tilde{p}$ 是命题
$\tilde{p}: \sqrt[2]{2}$ 是有理数
以下是证明该结论的论证 $\tilde{p}$ 是“假”的。如果 $\sqrt[2]{2}$ 是有理数，则存在整数 $m$ 和 $n$ ，且没有公因数 $$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$$

将其平方得到

$$2 = \frac{m^2}{n^2} \quad \text{or} \quad m^2 = 2n^2$$

这意味着 $m^2$ 是偶数，因此 $m$ 也是偶数。所以

$$m m = 2k$$    与 $k$ 一个整数

所以

$$m^2 = 4k^2$$

然而，由于 $n^2 = \frac{1}{2}m^2$ ，这意味着

$$n^2 = 2k^2$$

$n^2 = 2k^2$ 因此 $n^2$ 也是偶数，也就是说 $n$ 是偶数。但如果 $m$ 和 $n$ 都是偶数，它们就有（至少）公因子 2。于是我们得到矛盾，因为我们已假设 $m$ 和 $n$ 没有公因数。因此 $\tilde{p}$ 必定为假。如果 $\tilde{p}$ 为假，则 $p$ 为真，因此我们证明了 $\sqrt{2}$ 是无理数。

我们将考察的最后一种证明方法是归纳证明。如果 $p_1, p_2, \dots, p_n, \dots$ 是一个命题序列， $n$ 是一个自然数且

• (a) $p_1$ 为真（归纳基础）
• （b）如果 $p_n$ 为真，则 $p_{n+1}$ 为真（归纳假设）