那么 $p_n$ 对所有 $n$ 成立，由归纳法得证。数学归纳法被数学家广泛用于建立公式。下面给出这样一个例子。

例 6.22 用数学归纳法证明

$$1 + 2 + \dots + N = \frac{1}{2}N(N+1) \quad (6.8)$$

对任意自然数 $N$ 成立。

解 我们按照归纳法证明的常规步骤进行。

首先，我们在命题 (6.8) 中取 $N = 1$ ，这显然成立。现在我们在 (6.8) 中取

$$1 = \frac{1}{2}(1 + 1)$$

，并假设该命题成立： $N = n$ 我们现在需要证明

$$1 + 2 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1) 1) \quad (6.9)$$

，这正是命题 (6.8) 中将

$$1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{1}{2}(n+1)(n+2) \quad (6.10)$$

替换后所得的命题 $N$ 被替换为 $n + 1$ 。如果我们在 (6.9) 的两边同时加上 $n + 1$ ，则右边变为

$$\frac{1}{2}n(n+1) + (n+1)$$

可以将其改写为

$$(\frac{1}{2}n + 1)(n + 1) = \frac{1}{2}(n + 1)(n + 2)$$

从而完成了归纳假设的证明。于是 (6.8) 的正确性由归纳法得证。

6.4.6 练习

• 38 反例是反驳断言的好方法。（例子绝不能用作证明。）为以下断言找出反例：

• 39 (c) $2^n + n$ 对于每个正奇数 $n$ 都是素数。给出以下每个命题的逆命题和逆否命题：

• 反例是反驳断言的好方法。（例子绝不能用作证明。）为以下断言找出反例：

  (a) $2^n - 1$ 对每个……都是素数 $n \geq 2$	40	构造下列命题的真值表：
  (a) $A \wedge \tilde{A}$	(b) $\tilde{A} \vee \tilde{B}$
  (c) $(A \wedge B) \rightarrow C$	(d) $((A \wedge B) \rightarrow C)$
  (b) $2^n + 3^n$ 对所有……都是素数 $n \in \mathbb{N}$	41	证明或反驳下列命题：
  (c) $2^n + n$ 对每个正奇数都是素数 $n$	(a) $(B \rightarrow A) \leftrightarrow (A \wedge B)$
  给出下列各命题的逆命题和逆否命题：	(b) $(A \wedge B) \rightarrow (A \rightarrow B)$
  (a) $A \rightarrow (B \wedge C)$	(c) $(A \wedge B) \rightarrow (A \vee B)$
  (b) 如果 $x + y = 1$ 那么 $x^2 + y^2 \geq 1$	注意，要 反驳 重言式，只需一张真值表。
  (c) 如果 $2 + 2 = 4$ 那么 $3 + 3 = 9$	42	用反证法证明 $\sqrt[3]{3}$ 是无理数。