图 7.4
(a) 函数 $y = (x + 10)/(5x + 1)$ 和 $y = x$ 的图像。
(b) 由 $x_{n+1} = (x_n + 10)/(5x_n + 1)$ , $x_0 = 1$ 定义的数列的构造过程。

例 7.6 计算数列 ${x_n}{n=0}^6$ ，其中 $x_0 = 1$ 且 $x{n+1} = \frac{x_n + 10}{5x_n + 1}$ 。

解 使用计算器我们得到（保留两位小数）数列

$${x_n}_{n=0}^6 = {1, 1.83, 1.16, 1.64, 1.27, 1.54, 1.33}$$

的值。我们可以用蛛网图非常有效地展示这个数列。构造蛛网图时，我们首先画出 $y = (x + 10)/(5x + 1)$ 和 $y = x$ 的图像，如图 7.4(a) 所示。然后从 $x = x_0 = 1$ . 过 $x = 1$ 作一条竖直线，将 $y = x$ 在 $x_0$ 和 $y = (x + 10)/(5x + 1)$ 处截断。现在过 $y = x_1$ 作水平线，我们发现它在 $(x_0, x_1)$ 处截 $y = x$ 。接下来我们过 $x_1$ 作竖直线以确定 $(x_1, x_1)$ 的位置 $x_2$ 等等，如图 7.4(b) 所示。从这个图中我们可以看到，随着 $n$ 增大， $x_n$ 趋近于两条曲线的交点：也就是说，值 $\alpha$ 其中

$$\alpha = \frac{\alpha + 10}{5\alpha + 1} \quad (\alpha > 0)$$

两条曲线：也就是说，值 $\alpha$ 其中

$$\alpha = \frac{\alpha + 10}{5\alpha + 1} \quad (\alpha > 0)$$ 如我们所见，可以用三种不同的方法来图形化地表示数列。方法的选择取决于问题的背景。