5 某洗涤剂生产商希望预测其未来的销售情况。市场调研部门估计，他们的“第一号”品牌目前占有潜在市场的 20%。他们还估计，在某个月购买了“第一号”的顾客中有 15% 将在下个月购买其他品牌的洗涤剂，而购买了竞争对手品牌的顾客中有 35% 将在下个月购买“第一号”。证明其市场份额 $P_n%$ 在第 $n$ 个月满足递推关系

$$P_{n+1} = 35 + 0.5P_n, \quad \text{with } P_0 = 20$$

求 $P_n$ 在 $n = 1, 2, 3$ 和 4 时的值，并在适当的图上加以说明。

6 (a) 若 $x_r = r(r-1)(2r-5)$ ，计算 $\sum_{r=0}^4 x_r$ .

$r = 1$

(b) 若 $$x_r = r^{r+1} + 3(-1)^r$$ ，计算 $\sum_{r=1}^5 x_r$ 。

(c) 若 $$x_r = r^2 - 3r + 1$$ , 计算 $\sum_{r=2}^6 x_r$ 。

7 容量为 $V$ 的烧杯底部的一种沉淀物 $v$ 总会残留一定体积 $n$ 的液体。在用蒸馏水灌满烧杯并倒空的方式洗涤 $S_i$ ( $i = 1, 2, \dots, 6$ ):

$$S_1$$ 次后，残留的液体占原溶液的百分比是多少？

8 统计学中的某个过程包含以下步骤
$T = {x_1, x_2, \dots, x_n}$

$$S_2$$ ：从集合

$$S_3$$ 中选取一个数：从中减去 10

$$S_4$$ ：将结果平方 $S_1 - S_3$ ：对其余的数重复步骤 $T$

$$S_5$$ : 将各阶段得到的结果相加 $S_3$ 每次运行经过

$$S_6$$ : 将 $S_5$ 的结果除以 $n$

使用 $\Sigma$ 记号用代数方式表示最终结果。

9 牛顿迭代公式用于确定某个方程的根，公式为

$$x_{n+1} = \frac{x_n^2 - 1}{2x_n - 3}$$

取 $x_0 = 3$ 作为初始近似值，求出精确到 4 位有效数字的根。

通过令 $x_{n+1} = x_n = \alpha$ 证明该迭代的不动点由方程 $\alpha^2 - 3\alpha + 1 = 0$ 给出。

10 计算数列的各项

$$\left{ \frac{n^4}{n^4 + n^3 + 1} \right}_{n=0}^5$$

并在类似于图 7.2 和图 7.3 的图上展示它们。

11 计算数列 ${x_n}_{n=0}^6$ 其中

$$x_{n+1} = \frac{x_n + 2}{x_n + 1}, \quad x_0 = 1$$

使用蛛网图（cobweb diagram）以类似于图 7.4 的方式展示该数列。

12 一个钢珠从高度 $h$ 落到光滑坚硬的表面上。到第一次撞击的时间为 $T = \sqrt{(2h/g)}$ 其中 $g$ 是重力加速度。相邻两次弹跳之间的时间为 $2eT$ , $2e^2T$ , $2e^3T$ , ..., 其中 $e$ 是钢珠与表面之间的恢复系数（ $0 < e < 1$ ）。求直到第五次弹跳为止所用的总时间。若 $T = 1$ 且 $e = 0.1$ ,在图中显示直到第一次、第二次、第三次、第四次和第五次弹跳所占用的时间，并估计整个运动持续多长时间。

13 考虑以下谜题：需要多少块单独的、松散的、光滑的 30 厘米砖，才能堆成一个倾斜的单堆，且底部的砖没有任何部分位于顶部砖的下方？首先考虑 2 块砖的堆。顶部的砖伸出超过 15 厘米就会倒塌。然后考虑 3 块砖的堆。证明顶部的砖伸出第二块砖不能超过 15 厘米，且第二块砖伸出底部砖不能超过 7.5 厘米（因此最大总倾斜量为 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) 30$ 厘米）。证明 4 块砖的堆的最大总倾斜量为 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}) 30$ 厘米，并由此推出对于 $n$ 块砖的堆，最大总倾斜量为 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2n+2}) 30$ 厘米。从而解出该谜题。