7.3 有限数列与级数

在本节中，我们考虑工程中经常使用的一些有限数列与级数。

7.3.1 等差数列与级数

等差数列是指相邻两项之差为常数的数列。例如， ${2, 5, 8, 11, 14}$ 和 ${2, 0, -2, -4, -6, -8, -10}$ 定义了等差数列。一般地，等差数列具有如下形式 ${a + kd}_{k=0}^{n-1}$ 其中 $a$ 是首项， $d$ 是公差， $n$ 是数列的项数。因此，在上面的第一个例子中， $a = 2$ , $d = 3$ 且 $n = 5$ ；而在第二个例子中， $a = 2$ , $d = -2$ 和 $n = 7$ 。（这类数列的旧称是算术级数。）算术数列各项之和称为算术级数。一般的算术级数为

$$S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + + \dots + [a + (n - 1)d] = \sum_{k=0}^{n-1} (a + kd) \quad (7.1)$$

为求该级数前 n 项之和的表达式，将该级数按相反顺序写出，

$$S_n = a + + (a+d) + + (a+2d) + \dots + [a+(n-1)d]$$

$$S_n = [a + (n - 1)d] + [a + (n - 2)d] + [a + (n - 3)d] + \dots + a$$

将两个级数相加，得到

$$2S_n = [2a + (n - 1)d] + [2a + (n - 1)d] + [2a + (n - 1)d] + \dots + [2a + (n - 1)d]$$

从而得到算术级数前 n 项之和 Sn 为

$$S_n = \frac{1}{2}n[2a + (n - 1)d] = \frac{1}{2}n(\text{first term} + \text{last term}) \quad (7.2)$$

该结果在图 7.6 中以几何方式说明，其中每个矩形的宽度为 1，每个阴影阶梯下的面积等于级数的一项。

特别地，当 $n = 6$ 和 $a = 1$ 例 7.7 算术级数 11, 15, 19, … 的多少项之和为 341？

解 在此特定情形中，首项 $d = 1$ ,

$$S_6 = \sum_{k=0}^5 (a + kd) = \frac{1}{2} \times 6 \times (2a + 5d).$$

和公差为 $a = 11$ 。 $d = 4$ . 我们需要求出项数 $n$ 使得和 $S_n$ 为 341。利用 (7.2) 的结果

$$S_n = 341 = \frac{1}{2}n[2(11) + (n-1)(4)]$$

d

d

d

d

d

1

2

3

4

5

6

a

a + 5d图 7.6