导致

$$4n^2 + 18n - 682 = 0$$

或

$$(4n + 62)(n - 11) = 0$$

得到

$$n = 11$$ 或 $n = -\frac{31}{2}$

由于 $n = -\frac{31}{2}$ 不是整数，所需的项数为 $n = 11$ 。

例 7.8 一位承包商同意打一口 40 米深的井，第一米费用为 30 英镑，第二米为 35 英镑，之后每米递增 5 英镑。

• (a) 打这口井的总费用是多少？
• (b) 钻最后一米的费用是多少？

解

解 (a) 总费用构成一个等差数列，其各项为每米的费用。因此，取 $a = 30$ , $d = 5$ 和 $n = 40$ 代入 (7.2) 得到总成本

$$S_n = \mathfrak{E} \frac{40}{2} [2(30) + (40 - 1)5] = \mathfrak{E}5100$$

• (b) 钻最后一米的成本由该数列的第 40 项给出。由于第 $n$ 项为 $a + (n - 1)d$ ，钻最后一米的成本 = $30 + (40 - 1)5 = £225$ .

7.3.2 等比数列与级数

等比数列是指相邻两项之比为常数的数列。例如， ${2, 4, 8, 16, 32}$ 和 ${2, -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \frac{1}{32}}$ 定义了等比数列。一般地，等比数列具有如下形式 ${ar^k}_{k=0}^{n-1}$ 其中 $a$ 是首项， $r$ 是公比， $n$ 是数列的项数。因此，在上面的第一个例子中， $a = 2$ , $r = 2$ , $n = 5$ 而在第二个例子中， $a = 2$ , $r = -\frac{1}{2}$ 和 $n = 7$ 。（这类数列的旧称是等比数列。）等比数列各项之和称为等比级数。一般的等比级数具有如下形式

$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$$

为了求得该级数前 $S_n$ 项的和 $n$ ，我们将 $S_n$ 乘以公比 $r$ ，得到

$$rS_n = ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$$

从其减去此项 $S_n$ 然后得到

$$S_n - rS_n = a - ar^n$$