从而

$$(1 - r)S_n = a(1 - r^n)$$

因此对于 $r \neq 1$ ，前 $n$ 项之和为

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (7.4)$$ )

显然，对于 $r = 1$ 的特殊情形，其和为 $S_n = an$ 。

几何级数非常重要。它在实际问题以及数学内部都有许多应用。

例 7.9 某保险公司在宣传材料中保证：对于在每年年初支付、为期 25 年的固定年保费，其回报至少相当于所缴保费加上每年 3% 的复利。若年保费为 £250，那么 25 年末保证的总额是多少？

解 第一年的保费计息 25 年，因此保证

£250(1 + 0.03)25

第二年的保费计息 24 年，因此保证

$$\begin{aligned} & $250(1 + 0.03)^{24} \ & \vdots \end{aligned}$$

最后一年的保费计息 1 年，因此保证

£250(1 + 0.03)

因此，保证的总额为

£250[(1.03) + (1.03)2 + p + (1.03)25]

方括号内的项是一个几何级数。于是，在 (7.4) 中取 $a = 1.03$ , $r = 1.03$ 和 $n = 25$ 得

$$\text{guaranteed sum} = £250 \left[ 1.03 \frac{(1.03^{25} - 1)}{(1.03 - 1)} \right] \approx £9388$$