7.3.3 其他有限级数

除了算术级数和几何级数之外，工程应用中还会出现其他有限级数，对于这些级数可以求出其前 n 项和的表达式。我们将在例 7.10 和例 7.11 中加以说明。

例 7.10 考虑平方和级数

$$S_n =1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\sum_{k=1}^n k^2$$

求该级数和的表达式。

解 求和有多种方法。一种可以推广的方法是利用恒等式

$$(k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$$

于是

$$\sum_{k=1}^n [(k+1)^3 - k^3] = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k + 1)$$

左边等于

$$2^3 - 1^3 + 3^3 - 2^3 + 4^3 - 3^3 + \dots + (n+1)^3 - n^3 = (n+1)^3 - 1$$

右边等于

$$3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$$

现在

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) \text{ from (7.3) and } \sum_{k=1}^n 1 = n$$

因此

$$(n+1)^3 - 1 = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3n}{2}(n+1) + n$$

由此可得

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \quad (7.5)$$

这种方法可以推广用于求其他类似级数的和。例如，要求立方和级数 $\sum_{k=1}^n k^3$ 的和，我们可以考虑 $(k+1)^4 - k^4$ 等等。