例 7.11求级数的和 $$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

解求这个级数的和的技巧是将一般项表示为部分分式： $$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

于是 $$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} \ &= \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) \ &= 1 - \frac{1}{n+1} \end{aligned}$$

得到 $$S_n = \frac{n}{n+1}$$

还有许多其他类似的级数可以通过将一般项表示为部分分式来求和。一些例子见练习 7.3.4。

例 7.12求级数的和 $$S_n = 1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + \dots + nr^{n-1} = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}, \quad r \neq 1$$

解求这个算术-几何级数的和的技巧与求几何级数的和类似。我们将 $S_n$ 乘以 $r$ 然后从 $S_n$ 中减去所得结果。因此 $$rS_n = r + 2r^2 + 3r^3 + \dots + nr^n$$

以及 $$(1 - r)S_n = 1 + r + r^2 + r^3 + \dots + r^{n-1} - nr^n$$

该等式右边的 $n$ 项构成一个几何级数，利用结果 (7.4) 我们可以写成 $$(1 - r)S_n = \frac{1 - r^n}{1 - r} - nr^n$$