因此

$$S_n = \frac{1 - r^n - nr^n(1 - r)}{(1 - r)^2} = \frac{1 - (n + 1)r^n + nr^{n+1}}{(1 - r)^2} \quad (7.6)$$

其中 $r = 1$ , $S_n = \frac{1}{2}n(n + 1)$ 当然。该方法可以推广用于求其他类似级数的和，例如

$$\sum_{k=1}^n (2k + 1)r^{k-1} \quad \text{and} \quad \sum_{k=1}^n k^2 r^{k-1}$$

例 7.13

求级数的和

$$S_n = 1 + \cos \theta + \cos 2\theta + \dots + \cos(n - 1)\theta$$

解

求该级数和的最简单方法是回忆欧拉公式（第 3.2.7 节）

$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$

于是我们可以写出

$$S_n = \operatorname{Re}{1 + e^{j\theta} + e^{j2\theta} + e^{j3\theta} + \dots + e^{j(n-1)\theta}}$$

括号内的级数是公比为的等比级数 $e^{j\theta}$ 利用结果 (7.4) 我们得到

$$S_n = \operatorname{Re}\left{\frac{1 - e^{jn\theta}}{1 - e^{j\theta}}\right}$$

整理括号内的表达式，我们得到

$$\begin{aligned} S_n &= \operatorname{Re}\left{\frac{e^{j(n-\frac{1}{2})\theta} - e^{-j\frac{1}{2}\theta}}{e^{j\frac{1}{2}\theta} - e^{-j\frac{1}{2}\theta}}\right} \ &= \operatorname{Re}\left{\frac{\cos(n - \frac{1}{2})\theta + j \sin(n - \frac{1}{2})\theta - \cos \frac{1}{2}\theta + j \sin \frac{1}{2}\theta}{2j \sin \frac{1}{2}\theta}\right} \ &= \frac{1}{2}\left{\frac{\sin(n - \frac{1}{2})\theta}{\sin \frac{1}{2}\theta} + 1\right} \end{aligned}$$

同样的方法可用于证明 $\sum_{k=1}^n \sin k\theta = \sin(n + 1)\theta \sin(n\theta)/\sin \frac{1}{2}\theta$ .

在 MATLAB 中可以使用 symsum 命令实现符号求和。例如，要求例 7.10 中的级数之和，可使用以下命令

syms x k n
s = symsum(k^2, 1, n);
s = factor(s);