由此可得 $K = -2$ 。因此，在这种情况下，我们可以选取 $p_n = -2$ 。接下来我们求补解 $q_n$ ，它是以下方程的通解

$$x_{n+1} = 3x_n$$

由 (7.8) 我们可以看出 $q_n = A^n$ 其中 $A$ 是一个常数。因此 (a) 的通解为

$$x_n = -2 + A3^n$$

• (b) 对于这个关系式，基本步骤是相同的。我们先求该关系式的一个特解 $p_n$ 然后我们求补解 $q_n$ ，于是 $x_n = p_n + q_n$ 是通解。在这种情况下尝试 $x_n = K$ 毫无结果，因为我们得到了一个矛盾的方程 $K = K + 4$ 。尝试比单纯常数稍微复杂一点的形式，我们设 $x_n = Kn$ 和 $x_{n+1} = K(n + 1)$ 于是我们有

$$K(n+1) = Kn + 4$$

由此得到 $K = 4$ 和 $p_n = 4n$ 。 $x_{n+1} = x_n$ 的通解为 $q_n = A1^n$ ，因此 (b) 的通解为

$$x_n = 4n + A$$

• （c）由于递推关系中含有项 $C\beta^n$ ，因此很自然地期望形如 $K\beta^n$ 的解（其中 $K$ 为常数）满足该关系。设 $x_n = K\beta^n$ 可得

$$K\beta^{n+1} = \alpha K\beta^n + C\beta^n$$

两边同除以 $\beta''$ 得 $K\beta = \alpha K + C$ 由此我们推出 $K = C/(\beta - \alpha)$ （前提是 $\beta \neq \alpha$ ）。于是我们得到特解

$$p_n = C\beta^n/(\beta - \alpha)$$

补解 $q_n$ 是以下方程的通解

$$x_{n+1} = \alpha x_n$$

利用 (7.7)，它为 $q_n = A\alpha^n$ 。因此 (c) 的通解为

$$x_n = C\beta^n/(\beta - \alpha) + A\alpha^n$$

• (d) 这是 (c) 的特殊情况，其中 $\beta = \alpha$ 。如果我们令 $p_n = K\alpha^n$ ，我们得到方程 $K\alpha^{n+1} = K\alpha^{n+1} + C\alpha^n$ ，只有当 $C = 0$ 时才成立。（于是我们看到 $p_n$ 是以下方程的解 $x_{n+1} = \alpha x_n$ , 即它是补解。）与情形 类似，我们改为寻求如下形式的解 $p_n = Kn\alpha^n$ ，使得 $p_{n+1} = K(n+1)\alpha^{n+1}$ 以及

$$K(n+1)\alpha^{n+1} = \alpha Kn\alpha^n + C\alpha^n$$

最后一个方程给出 $K = C/\alpha$ 。因此 的通解为

$$x_n = Cn\alpha^{n-1} + A\alpha^n$$

其中 $A$ 是任意常数。