解 特征方程

$$\lambda^2 = 6\lambda - 25$$

具有（复）根 $\lambda = 3 + j4$ 和 $\lambda = 3 - j4$ ，因此我们可以将通解写成如下形式

$$x_n = A(3 + j4)^n + B(3 - j4)^n$$

现在将复数写成极坐标形式，我们得到

$$x_n = A(re^{j\theta})^n + B(re^{-j\theta})^n$$

其中 $r^2 = 3^2 + 4^2$ 和 $\tan\theta = \frac{4}{3}$ 满足 $0 < \theta < \pi/2$ （或 $\cos\theta = \frac{3}{5}$ , $\sin\theta = \frac{4}{5}$ ）。这可以化简为

$$\begin{aligned} x_n &= A(5^n e^{in\theta}) + B(5^n e^{-in\theta}) = A5^n(\cos n\theta + j \sin n\theta) + B5^n(\cos n\theta - j \sin n\theta) \ &= (A + B)5^n \cos n\theta + j(A - B)5^n \sin n\theta \end{aligned}$$

这里 $A$ 和 $B$ 是任意复常数，因此它们的和与差也是任意常数，我们可以写成

$$x_n = P5^n \cos n\theta + Q5^n \sin n\theta$$

从而得到所需的形式。（由于 $P$ 和 $Q$ 是常数，如果愿意，我们可以把它们替换为 $A$ 和 $B$ 。）

例 7.21 求满足

$$x_{n+2} + 2x_n = 0$$

的递推关系的解 $x_0 = 1, x_1 = 2$ 。

解 这里特征方程为

$$\lambda^2 + 2 = 0$$

这里特征方程为

$$\lambda^2 + 2 = 0$$ 其根为 $\pm j\sqrt{2}$ ，因此我们可以将通解写成如下形式

$$x_n = A(j\sqrt{2})^n + B(-j\sqrt{2})^n$$ $$x_n = A(j\sqrt{2})^n + B(-j\sqrt{2})^n$$

这里特征方程为

$$\lambda^2 + 2 = 0$$ 其根为 $\pm j\sqrt{2}$ ，因此我们可以将通解写成如下形式

$$x_n = A(j\sqrt{2})^n + B(-j\sqrt{2})^n$$ 由于 $e^{j\pi/2} $$\begin{aligned} x_n &= A(j\sqrt{2})^n + B(-j\sqrt{2})^n \ &e^{j\pi/2} = \cos \frac{\pi}{2} + j\sin \frac{\pi}{2} = j, \text{ we can rewrite the solution as} \ x_n &= A(\sqrt{2})^n e^{jn\pi/2} + B(\sqrt{2})^n e^{-jn\pi/2} \ &= A2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{2} + j \sin \frac{n\pi}{2} \right) + B2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{2} - j \sin \frac{n\pi}{2} \right) \ &= (A + B)2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{2} + j(A - B)2^{n/2} \sin \frac{n\pi}{2} \ &= P2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{2} + Q2^{n/2} \sin \frac{n\pi}{2} \end{aligned}$$$