我们可以求出 $P$ 和 $Q$ 的值，方法是应用初始数据 $x_0 = 1, x_1 = 2$ ，得到

$$P=1$$ 和 $2^{1/2}Q=2$

因此所求的解为

$$x_n = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{2} + 2^{(n+1)/2} \sin \frac{n\pi}{2}$$

与例 7.18 中所得结果对应的一般结论是：如果特征方程的根可以写成如下形式

$$\lambda = u \pm j\nu$$

其中 $u, v$ 为实数，那么该齐次递推关系的通解为

$$x_n = r^n(A \cos n\theta + B \sin n\theta)$$ 其中 $r = \sqrt{(u^2 + v^2)}$ , $\cos \theta = u/r$ , $\sin \theta = v/r$ 和 $A$ 和 $B$ a $$x_n = r^n(A \cos n\theta + B \sin n\theta)$$

其中 $r = \sqrt{(u^2 + v^2)}$ , $\cos\theta = u/r$ , $\sin\theta = v/r$ 和 $A$ 和 $B$ 是任意常数。

递推关系有时也被称为差分方程。之所以这样命名，是因为我们可以将这些关系用未知序列的差来重新排列 $x_n$ 。因此

$$x_{n+1} = ax_n + b$$

可以重新排列为

$$\Delta x_n = (a - 1)x_n + b$$

其中 $\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$ 。

类似地，经过一些代数运算，我们可以写成

$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n + c$$

作为

$$\Delta^2 x_n = (a - 2)\Delta x_n + (a + b - 1)x_n + c$$

其中

$$\Delta^2 x_n = \Delta x_{n+1} - \Delta x_n = x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n$$

求解常系数二阶线性递推关系的方法总结在图 7.7 中。