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7.4.4 习题
尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。
29 求表达式的值 $2x_{n+2} - 7x_{n+1} + 3x_n$ 当 $x_n$ 对所有 $n \geq 0$ 由下式定义时
(a) $$x_n = 3^n$$ (b) $x_n = 2^n$
(c) $$x_n = 2^{-n}$$ (d) $x_n = 3(-2)^n$
(a) 到 (d) 中哪些是下列递推关系的解？
$$2x_{n+7x_{n+1}+3x_n=0$$
30 通过代入递推关系，证明 $x_n = 2^n$ 和 $x_n = (-1)^n$ 是 $x_{n+2} - x_{n+1} - 2x_n = 0$ 的两个解。同样地验证 $x_n = A(2^n) + B(-1)^n$ 也是该递推关系对所有常数 $A$ 和 $B$ 的解。
齐次情形：
$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n \quad (1)$$
- (i) 求解特征方程。
- (ii) 根据表格写出 xn 的通解：
| 特征方程的根 | 通解（A 和 B 为任意常数） | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 实数 | a | , b | 和 | a | ≠ | b | A | a | n | + | B | b | n |
| 实数 | a | , b | 和 | a | = | b | ( | A | + | Bn | ) a | n | |
| 非实数 | a , | b = | u | ; j v | ( | u | 2 + | v 2 | |||||
| n | /2( A cos n u + B sin n u ) | ||||||||||||
| 其中 cos | u = u /( u 2 + v 2 | ||||||||||||
| 1/2, sin u = v /( u 2 + v 2 |
非齐次情形：
$$x_{n+2} = ax_{n+1} + bx_n + c_n \text{ where } c_n \text{ is a known sequence.} \quad (2)$$
- (i) 求相应齐次问题 (1) 的通解。
- (ii) 求 (2) 的一个特解。
- (iii) (2) 的通解是 (i) 与 (ii) 之和。
要求 (2) 的一个特解，可将一个可能的特解形式代入 (2)。如果所选形式正确，那么比较系数即可确定试探解中各常数的值。以下是一些合适的特解形式：
| $c_n$ | 7 | $3n + 5$ | $2n^2 + 3n + 8$ | $4 \cos(7n) + 5 \sin(7n)$ | $6^n$ | $n5^n$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $p_n$ | $C$ | $Cn + D$ | $Cn^2 + Dn + E$ | $C \cos(7n) + D \sin(7n)$ | $C6^n$ | $5^n(C + Dn)$ |
在解题时，请注意表格的第一行涉及任意已知常数（这些常数因题而异），而最后一行涉及未知常数 C、D、E，它们必须通过将试探形式代入非齐次关系式来确定。
当所建议的 pn 形式已经出现在相应齐次问题的通解中时，会出现一种特殊情况。如果发生这种情况，只需将所建议的形式乘以 n（如果这样仍不行，就反复乘以 n，直到有效为止）。
图 7.7
小结：二阶常系数线性递推关系。