定义 $x_n = f_{n+1}/f_n$ 给出 $f_{n+2} = x_{n+1} \times f_{n+1}$ 和 $f_n = f_{n+1}/x_n$ ，使得递推关系变为

$$x_{n+1}f_{n+1} = f_{n+1} + f_{n+1}/x_n$$

并且两边同除以 $f_{n+1}$ 我们得到

$$x_{n+1} = 1 + 1/x_n$$

另外， $x_0 = f_1/f_0 = 1/1 = 1$ 。

利用递推关系，我们得到数列

$${1, 2, 1.5, 1.6667, 1.6, 1.625, 1.6154, 1.6190, \dots}$$

数值结果表明极限值接近 1.62。事实上，该数列的振荡性质表明 $1.6154 < x_n < 1.6190$ 对于 $n > 8$ , 这意味着一个极限值 $x = 1.62$ 精确到小数点后 2 位。

在本例中我们可以验证这个结论，因为如果 $x_n \rightarrow x$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时，则 $x_{n+1} \rightarrow x$ 也是如此，因此递推关系给出

$$x = 1 + \frac{1}{x}, \quad \text{with } x > 0$$

于是 $x^2 - x - 1 = 0$ ，这意味着 $x = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ 或 $x = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$ 。由于该数列只有正值，显然合适的根是 $x = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) = 1.62$ （精确到 2 位小数）。

这个极限值被称为黄金数，通常用希腊字母 tau 表示 $\tau$ . 边长之比为黄金分割数的矩形被认为在美学上最令人愉悦，这一比例常被建筑师采纳为设计的基础。

7.5.3 极限的计算

到目前为止所考虑的例子容易让人产生所有数列都收敛的印象，但事实并非如此。一个能说明这一点的重要数列是几何数列

$$a_n = r^n, \quad r \text{ constant}$$

对于这个数列，我们有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \begin{cases} 0 & (-1 < r < 1) \ 1 & (r = 1) \end{cases}$$

如果 $r > 1$ ，则该数列随着 $n \rightarrow \infty$ 而无界增长，我们称它发散。如果 $r = -1$ ，则该数列交替取值 $-1$ 和 $1$ ，没有极限值。如果 $r < -1$ ，则该数列无界且各项符号交替变化。

在数列的计算应用中，数列的极限往往是未知的，因此无法应用形式化定义来确定项数 $N$ 我们需要采取，以达到指定的精度水平。如果我们不知道极限 $a$ ，即数列 ${a_n}$ 收敛到的值，那么我们就无法度量 $|a_n - a|$ 。在计算背景下，当我们应用递推关系来求解一个问题时，我们说数列 ${a_n}$ 已收敛到其极限，当所有后续