项产生所需的相同近似值。换句话说，如果对于任意 $n$ 和 $m > N$ ,

$$| a_n - a_m | < \varepsilon$$

其中界 $\varepsilon$ 被指定，我们就说有限项的序列是收敛的。因此，如果序列中所有满足 $n > N$ 的项都被限制在一个可以通过选取足够大的 $N$ 而变得任意小的区间内，则该序列趋于一个极限。这称为柯西收敛判别法。

在许多实际问题中，我们需要求序列极限的数值估计。一种图形方法是绘制由点 ${(1/n, a_n) : n = 1, 2, 3, \dots}$ 定义的图像，然后从图像进行外推，因为当 $1/n \rightarrow 0$ 时 $n \rightarrow \infty$ 。如果用这种方法得到的精度不够，一种有效的数值方法是 Aitken 提出的重复线性外推法。我们在例 7.24 中说明这一过程。

例 7.24 考察序列 ${a_n}_{n=1}^{\infty}$ , $a_n = (1 + 1/n)^n$ 的收敛性。

解 可以证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \epsilon$ , 但收敛速度相当慢。事实上，

$$a_1 = 2, \quad a_2 = 2.2500, \quad a_3 = 2.3704, \quad a_4 = 2.4414, \quad \dots$$

$$a_8 = 2.5658, \quad \dots, \quad a_{16} = 2.6379, \quad \dots, \quad a_{32} = 2.6770, \quad \dots$$

$$a_{64} = 2.6973, \dots, and e = 2.7183$$ 精确到小数点后 4 位

现在考虑对应于 $n = 16$ 和 $n = 32$ 的两项，并设 $x_n = 1/n$ 。则

$$n = 16$$    给出    $x_{16} = 0.0625$    和    $a_{16} = 2.6379$

$$n = 32$$    给出    $x_{32} = 0.03125$    和    $a_{32} = 2.6770$

我们希望求出对应于的值 $x = 0$ . 为了估计这个值，我们可以使用线性外推法，如图 7.12 所示。这给出

$$b_{16,32} = \frac{x_{16}a_{32} - x_{32}a_{16}}{x_{16} - x_{32}} = 2.7161$$

注意 $b_{16,32}$ 是比 $e$ 或 $a_{16}$ 更好的估计值 $a_{32}$ .

图 7.12
数列极限的
线性外推。

在 MATLAB 的符号数学工具箱中，由 $n \rightarrow \infty$ 定义的数列当 $x_n = f(n)$ 时的极限由以下命令确定

syms $$n$$

limit( $f_n$ , $n$ , inf)