作为说明性示例，请看例 7.22(a) 和 7.24：

syms n

limit (n/(n + 1), n, inf)

返回 1，而

limit ((1 + 1/n)^n, n, inf)

返回

exp (1)

7.5.4 练习

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

36 计算下列每个数列的前六项 ${a_n}$ 并绘制 $a_n$ 关于 $1/n$ 的图像。（在选择 y 轴刻度时需要多加注意。）当 $a_n$ 趋于 $n \rightarrow \infty$ ?

(a) $a_n = \frac{n}{n^2 + 1} \quad (n \geq 1)$

(b) $a_n = \frac{3n^2 + 2n + 1}{6n^2 + 5n + 2} \quad (n \geq 1)$

(c) $a_n = (2n)^{1/n} \quad (n \geq 1)$

(d) $a_n = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^n \quad (n \geq 1)$

(e) $a_n = \sqrt{(1 + a_{n-1})}$ , $a_1 = 1 \quad (n \geq 2)$

(f) $a_n = \frac{n}{2} \sin \frac{2\pi}{n} \quad (n \geq 1)$

时，其行为如何？ $n$ 注： 第 (f) 小题是内接于单位半径圆的正 ${a_n}$ 边形的面积。

37 计算下列每个数列的前六项，并绘制图像 $a_n$ 相反 $n$ 。其行为是什么 $a_n$ 作为 $n \rightarrow \infty$ ?

(a) $a_n = \frac{n^2 + 1}{n + 1} \quad (n \geq 0)$

(b) $a_n = (\sin \frac{1}{2} n \pi)^n \quad (n \geq 1)$

(c) $a_n = 3/a_{n-1}$ , $a_0 = 1 \quad (n \geq 1)$

38 求 $N$ 的最小值，使得当 $n \geq N$ ,

(a) $n^2 + 2n > 100 \quad (b) \frac{n^2}{2^n} < \frac{1}{1000}$

(c) $\frac{1}{n} - \frac{(-1)^n}{n^2} < 0.000001$

(d) $\sqrt{(n + 1)} - \sqrt{n} < \frac{1}{10}$

(e) $\frac{n^2 + 2}{n^2 - 1} - 1 < 0.01$

39 第 5 题（练习 7.2.3）中描述的品牌“Number One”最终能占洗涤剂市场的长期份额是多少？

40 线性收敛数列具有如下性质：对所有

$a_n - a = \lambda(a_{n-1} - a)$ 都有 $n$

其中 $\lambda$ 是一个常数， $a = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ 。证明

$a_{n+1} - a = \lambda(a_n - a)$

推导出

$$\frac{a_{n+1} - a}{a_n - a} = \frac{a_n - a}{a_{n-1} - a}$$

并证明

$$a = a_{n-1} - \frac{(a_n - a_{n-1})^2}{a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1}}$$

这被称为数列极限的 艾特肯估计（Aitken's estimate）。

计算该数列的前四项

$a_0 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{1}{5}(3 + 4a_n^2 - a_n^3) \quad (n \geq 0)$

并估计该数列的极限。