7.6 无穷级数

无穷级数出现在各种各样的实际问题中，从估计污染的长期影响到机械部件运动稳定性的分析。它们也出现在为实际问题的数值求解而开发计算机算法的过程中。在本节中我们将探讨其基本思想。处理无穷级数时必须小心，因为很容易产生错误的结果。例如，考虑无穷级数

$$S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + \dots$$

那么我们可以写成

$$2S = 2 - 4 + 8 - 16 + 32 - 64 + \dots$$

将这两个结果相加，我们得到

$$3S = 1 \quad \text{or} \quad S = \frac{1}{3}$$

这显然是错误的。然而，这类错误并不总是如此显而易见，因此我们必须建立一些简单的方法，用于判断一个无穷级数是否收敛于有限值，以及求出或估计该值。

7.6.1 无穷级数的收敛性

正如我们之前讨论的（见 7.2.1 节），级数与数列密切相关。当级数的和 $S_n$ 由 $n$ 项构成，且当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于一个极限，则该级数是收敛的。当我们可以用简单的形式表示 $S_n$ 时，通常很容易确定该级数是否收敛。为求无穷级数的和，需对部分和数列 ${S_n}$ 取极限。

例 7.25 考察下列级数的收敛性：

(a) $$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + (2k + 1) + \dots$$

(b) $$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \dots + k^2 + \dots$$

(c) $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^k} + \dots$$

$$(d) \quad \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \dots + \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \dots$$

解答 (a) 这是一个等差数列，所以我们可以把它的有限和写成一个简单的公式

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 \quad (n \text{ terms})$$

由此可以清楚地看出 $S_n \rightarrow \infty$ 因为 $n \rightarrow \infty$ 且该级数不收敛于一个极限。它是一个发散级数。