(b) 正如我们在例 7.10 中看到的

$$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \quad (n \text{ terms})$$

当 $n$ 变大时， $S_n$ 也随之变大，且 $S_n \rightarrow \infty$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时。因此该级数发散。

(c) $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}$ ( $n$ 项)

这是一个公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比级数。使用公式 (7.4)，取 $a = 1$ 和 $r = \frac{1}{2}$ ，得

$$S_n = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$$

由于 $n \rightarrow \infty$ , $\frac{1}{2^n} \rightarrow 0$ ，因此 $S_n \rightarrow 2$ 。所以该级数收敛于和 2。

(d) 我们在例 7.11 中证明了

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$$

由于 $n \rightarrow \infty$ , $1/(n+1) \rightarrow 0$ ，因此 $S_n \rightarrow 1$ 。所以该级数收敛于和 1。

在初等级数中，几何级数是最重要的。

$$\begin{aligned} S_n &= a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \quad (n \text{ terms}) \ &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \ &= \frac{a}{1-r} - \frac{ar^n}{1-r} \end{aligned}$$

由于 $r^n \rightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时 $|r| < 1$ ，我们得出结论 $S_n \rightarrow a/(1-r)$ 其中 $|r| < 1$ 且该级数收敛。当 $|r| \geq 1$ 时，该级数发散。这些结果在许多应用中被使用，无穷级数的和为

$$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1 \tag{7.14}$$

类似地

$$\begin{aligned} S_n &= a + 2ar + 3ar^2 + \dots + nar^{n-1} \ &= \frac{a}{(1-r)^2} - (n+1)ar^n + anr^{n-1} \ &\rightarrow \frac{a}{(1-r)^2} \quad \text{as } n \rightarrow \infty \end{aligned}$$