在 MATLAB 中可以使用 symsum 命令进行求和。对于例 7.25(a)，直到 $n$ 的各项之和由以下命令确定

syms k n
sn = symsum(2*k + 1, 0, n)
sn = simplify(sn)

为

sn = (n + 1)^2

当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于无穷大，因此它是一个发散级数。

对于例 7.25(d)，无穷和由以下命令确定

syms k
sinf = symsum(1/((k + 1)*(k + 2)), 0, inf)

为 $sn = 1$ ，因此它是一个收敛级数。

7.6.2 正项级数收敛性的判别

例 7.25 中所讨论级数的收敛或发散是通过考察部分和 $S_n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时的行为来确定的。然而，在许多情况下，无法将 $S_n$ 以闭式表示。当出现这种情况时，级数的收敛或发散通过某种判别法来确定。常用的判别法有两种。

(a) 比较判别法

假设我们有一个级数， $\sum_{k=0}^{\infty} c_k$ ，其项为正项（ $c_k \geq 0$ ，均 $k$ ），且已知该级数收敛。如果我们有另一个级数， $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ ，其项为正项，且满足 $u_k \leq c_k$ 对所有 $k$ 都成立，那么 $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ 也收敛。

另外，如果 $\sum_{k=0}^{\infty} c_k$ 发散且 $u_k \geq c_k \geq 0$ 对所有 $k$ ，则 $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ 也发散。

例 7.26

考察下列级数的收敛性

(a) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots$ （阶乘级数）

(b) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$ （调和级数）

解 (a) 我们可以通过考察其部分和来建立级数 (a) 的收敛性

$$A_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots + \frac{1}{n!}$$

$$C_n = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}$$