该几何级数可求和得到

$$C_n = 3 - \frac{1}{2^{n-1}}$$

因此

$$A_n < 3 - \frac{1}{2^{n-1}}$$

这意味着，由于该级数的所有项都是正数， $A_n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于一个小于 3 的极限。因此该级数是收敛的。

(b) 级数 (b) 的发散性可用类似方法证明。

$$1 + + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots$$

将相继的两组、四组、八组……项归并在一起，我们得到

$$1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{17} + \dots$$

可将其与级数

(c) 比较 $1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{32} + \dots$

重排后的 (b) 的每一项都大于或至少等于级数 (c) 的对应项，因此级数 (b) 的“和”大于级数 (c) 的“和”，后者为

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots$$

（对括号中的项求和），这显然是发散的。

注意，尽管调和级数的 $n$ 次项当 $n \rightarrow \infty$ 。

调和级数是级数发散/收敛的临界情形

$$S(r) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^r}$$

对于 $r > 1$ ，该级数收敛；对于 $r \leq 1$ ，它发散，如下表所示，其中的值是使用 MATLAB 符号数学工具箱中的 symsum 命令（后接 double 命令）计算得到的。

(b) 达朗贝尔比值判别法

假设我们有一个正项级数， $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ ，并且 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$ 存在。

那么当 $l < 1$ 时级数收敛，当 $l > 1$ 时级数发散。如果 $l = 1$ ，则使用该判别法无法判断级数是收敛还是发散。