该结果的证明很简单。假设 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l < 1$ 并选取 $r$ 为介于 $l$ 和 1 之间的任意数。那么由于当 $u_{n+1}/u_n$ 足够大时， $n$ 的值与 $l$ 相差可以任意小，我们得到

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} < r$$

对于 $n \geq N$ 。因此

$$u_{N+1} < ru_N, \quad u_{N+2} < r^2u_N, \dots$$

因此，从该项及以后各项起 $u_N$ 级数的项不超过收敛几何级数的项

$$u_N(1 + r + r^2 + r^3 + \dots)$$

因此 $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ 收敛。

级数在何时发散，留作练习由读者证明，当 $l > 1$ 。

例 7.27

用达朗贝尔判别法判断下列级数是否收敛。

(a) $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!}$      (b) $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{(k+1)^2}$

解 (a) 设 $u_k = \frac{2^k}{k!}$ ，则

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \Big/ \frac{2^n}{n!} = \frac{2}{n+1}$$

当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于零。因此 $l = 0$ ，级数收敛。

(b) 此处

$$l = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{2^{n+1}}{(n+2)^2} \Big/ \frac{2^n}{(n+1)^2} \right] = 2$$

所以级数发散。

所有级数收敛的必要条件是级数的项当 $n \rightarrow \infty$ . 因此，发散的一个简单判别法是

若 $u_n \rightarrow u \neq 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ ，则 $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ 发散

然而请注意， $u_n \rightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ 并不能保证 $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ 收敛。要证明这一点，我们需要更多的信息。（例如，回顾例 7.26 中的调和级数 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ ，它是发散的。）