例 7.28 证明级数 $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \dots$ 是发散的。

解 这里 $u_k = \frac{k}{k+1}$ ，因此达朗贝尔比值判别法不能给出结论（因为 $l=1$ ）。然而，我们注意到 $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ ，所以 $u_n \rightarrow 1$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时，由此我们得出结论： $\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ 发散。

7.6.3 一般级数的绝对收敛

在实际问题中，我们关注的是可能同时含有正项和负项的级数。绝对收敛级数是这类级数的一种特殊情形。考虑一般级数

$$S = \sum_{k=0}^{\infty} u_k$$

它可能同时含有正项和负项 $u_k$ . 如果相关的级数

$$T = \sum_{k=0}^{\infty} |u_k|$$

是收敛的，那么 $S$ 是收敛的，并被称为绝对收敛。如果无法求得部分和的极限的值 $T_n$ ，我们必须使用其他判别法来确定 $T$ 的收敛（或发散）。一个用于判别级数绝对收敛的简单判别法 $\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ 是达朗贝尔比值判别法的自然推广。

绝对收敛级数具有以下有用的性质：

1. 在级数中插入括号不会改变其和；
2. 重排级数不会改变其和；
3. 两个绝对收敛级数的乘积 $A = \sum a_n$ 和 $B = \sum b_n$ 是绝对收敛级数 $C$ ，其中

$$C = a_1 b_1 + (a_2 b_1 + a_1 b_2) + (a_3 b_1 + a_2 b_2 + a_1 b_3) + (a_4 b_1 + a_3 b_2 + a_2 b_3 + a_1 b_4) + \dots$$

存在收敛但不绝对收敛的级数；也就是说， $\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ 收敛但 $\sum_{k=0}^{\infty} |u_k|$ 发散。这类级数中最常见的是交错